考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。.docVIP

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2017-09-02 发布于重庆
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考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。.doc

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解：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。（方法一）（1）证明：设三边长分别为a，b，c，， ∵a，b，c是有理数， b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数， ∴cosA是有理数cosA是有理数cosA是有理数，，解得：cos(k＋1)A＝2coskAcosA－cos(k－1)A ∵cosA，coskA，cos(k－1)A均是有理数， ∴2coskAcosA－cos(k－1)A是有理数， ∴cos(k＋1)A是有理数。即当n＝k＋1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数。 ①当n＝1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数。 ②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数。当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA， sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，及①和归纳假设，知cis(k＋1)A和sinA·sin(k＋1)A都是有理数。即当n＝k＋1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。