2015年《高考风向标》高考理数一轮复习第十二章第4讲轨迹与方程.ppt

* 第 4 讲 轨迹与方程 求轨迹方程的常用方法： (1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 F(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根 据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线， 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (4)代入转移法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变 化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的 代数式表示 x0、y0，再将 x0、y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程． (5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 1．动圆 M 经过点 A(3,0)且与直线 l：x＝－3 相切，则动圆 圆心 M 的轨迹方程是( ) A A．y2＝12x B．y2＝6x C．y2－3x D．y2－24x C A．上半部分 C．左半部分 B．下半部分 D．右半部分 C 的中点 M 的轨迹方程是( ) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 3．动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 B(3,0)连线 ，y＝ OP·OA＝4.则点 P 的轨迹方程是 解析：设点 M 的坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)．由 于点 B 的坐标是(3,0)且 M 是线段 AB 的中心，所以 x＝ x0＋3 2 y0＋0 2 ，于是有 x0＝2x－3，y0＝2y ①. 4．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA |＝2|PB|， 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 . 4π 5．直角坐标平面 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 → → . x＋2y－4＝0 考点 1 直接法求轨迹方程 图 12－4－2 例 1：如图 12－4－2，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2. 若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程． 解析：设点 M 的坐标为(x，y)， ∵M 是线段 AB 的中点， ∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． 即 x＋2y－5＝0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0. ＋ ＝1. 考点 2 定义法求轨迹方程 例 2：一动圆与已知圆 O1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 O2： (x－3)2＋y2＝81 内切，试求动圆圆心的轨迹方程． 故动圆圆心的轨迹方程为 x2 25 y2 16 解析：两定圆的圆心和半径分别为 O1(－3,0)，r1＝1； O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R， 则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10. 由椭圆的定义知：M 在以 O1、O2为焦点的椭圆上， 且 a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 【互动探究】 2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动 圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 图 12－4－3 解：如图 12－4－3，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. (1)求此双曲线的渐近线 l1、l2 的方程； (2)若 A、B 分别为 l1、l2 上的动点，且 2|AB|＝5|F1F2|，求线 段 AB 的中点 M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线． 【互动探究】 3．如图 12－4－4，已知 P(4,0)是圆 x2＋y2＝36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程． 图 12－4－4 错源：利用参数法求轨迹方程时忽略了特殊情况 例 4：如图 12－4－5，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的 直线 CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程．