2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第四章第2讲导数在研究函数中的应用.ppt

* 第2讲 导数在研究函数中的应用 1．函数的单调性与导数的关系 单调递增 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在 某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区 间内___________；如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间 内__________. 单调递减 2．判别 f(x0)是极大、极小值的方法 极大值 若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧 f(x)的导数异号，则x0 是 f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果 f′(x)在x0两侧满足“左 正右负”，则x0是 f(x)的______点，f(x0)是极大值；如果 f′(x) 在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0是 f(x)的________点，f(x0) 是_________． 极小值 极小值 1．f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是( ) C A．－2 B．0 C．2 D．4 2．设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点 P A ) A 3．已知函数 f(x)＝a3＋sinx，则 f′(x)＝( A．3a2＋cosx B．a3＋cosx C．3a2＋sinx D．cosx 4．函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋16 的单调减区间为________． 闭区间． (－1,11) 5．函数 y＝x3－3x＋9 的极小值是____. 7 解析：y′＝(x3－3x＋9)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当 x∈ (－∞，1)时，y′＞0，函数 y＝x3－3x＋9 递增；当 x∈(－1,1) 时，y′＜0，函数 y＝x3－3x＋9 递减；当 x∈(1，＋∞)时， y′＞0，函数 y＝x3－3x＋9 递增；当 x＝1 时，y极小值＝7. 解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11) (x＋1)＜0 得单调减区间为(－1,11)．亦可填写闭区间或半开半 考点 1 讨论函数的单调性 例 1：设函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，求 a、b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点． 解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值． 本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的． 【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图像过点 P(0,2)，且在 点 M(－1，f(－1))处的切线方程为 6x－y＋7＝0. (1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间． 考点 2 导数与函数的极值和最大(小)值 例 2：已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上 的最小值． 解析：(1) f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)0，解得 x－1 或 x3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)． (2)因为 f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以 f(2)f(－2)． 因为在(－1,3)上 f′(x)0， 所以 f(x)在[－1, 2]上单调递增， 又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减， 因此 f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最 小值， 于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2. 故 f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2， 因此 f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数 f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7. 【互动探究】 2．已知函数 f(x)＝ax3＋bx2－3x 在 x＝±1 处取得极值，讨 论 f(－1)和 f(1)是函数 f(x)的极大值还是极小值． 错源：f′(x0)＝0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件 例 3：已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2 在 x＝－1 时有极值 0，则 m＝________，n＝________. 误解分析：对 f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多解． 【互动探究】 3．设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图 ) C 4－2－2，则 y＝f(x)的图像最有可能的是( 图 4－2