2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第四章第3讲导数的综合应用.ppt

* 第3讲 导数的综合应用 1．求参数的取值范围 与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大 多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题， 解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想 方法，建立关于字母参数的不等关系． 2．用导数方法证不等式 用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调 性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 3．平面图形面积的最值问题 此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然 后运用导数方法求最值．上述三类问题，在近几年的高考中都 是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注 重考查综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视． A －16 y＝3x＋1 2．函数 f(x)＝12x－x3 在区间[－3,3]上的最小值是_____. 3．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_________. 4．已知 f(x)的定义域为 R，f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 4－3－1，则下列说法中错误的有________(填序号)． ①②④ 图 4－3－1 ①f(x)在 x＝1 处取得极小值； ②f(x)在 x＝1 处取得极大值； ③f(x)是 R 上的增函数； ④f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数． 3 5．已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 考点 1 利用导数研究函数的基本性质 例 1：已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在， 求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：f(x)＝x3－ax－1 的图像不可能总在直线 y＝a 的上方． 解析：(1)由已知 f′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， 故 f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，则 a≤0. (2)由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立， 得 a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需 a≥3. 当 a＝3 时，f′(x)＝3(x2－1)， 在 x∈(－1,1)上，f′(x)＜0， 即 f(x)在(－1,1)上为减函数， ∴a≥3. 故存在实数 a≥3，使 f(x)在(－1,1)上单调递减． (3)证明：∵f(－1)＝a－2＜a， ∴f(x)的图像不可能总在直线 y＝a 的上方． 【互动探究】 (1)求 a、b、c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 当x＝1 时，切线l 的斜率为3，可得 2a＋b＝0.① 解：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 当 x 变化时，y、y′的取值及变化如下表： ∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为 13，最小值为 95 . 27 考点 2 利用导数研究图像的交点 例 2：已知函数 f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图 像有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 【互动探究】 2．若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的 取值范围是( ) A A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 错源：忽略对参数的分类讨论导致错误 例 3：已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b 在区间[－1,2]上的最大 值为 3，最小值为－29，求 a、b 的值． 误解分析：没有对字母 a、b 的取值范围进行讨论，得到如 下错解． f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 由 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝4. ∴在区间[－1,2]上 x＝2 是极值点． 又∵f(x)在区间[－1,0]上是增函数， 在区间[0,2]上是减函数， 【互动探究】 3．已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值为 0，求 常数 a、b 的值． *