2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第四章第4讲导数的实际应用.ppt

* 第4讲 导数的实际应用 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是： 1．函数 y＝1＋3x－x3 有( ) D A．极小值－1，极大值 1 B．极小值－2，极大值 3 C．极小值－2，极大值 2 D．极小值－1，极大值 3 2．设 f(x)＝xlnx，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( ) B A．e2 B．e C. ln2 2 D．ln2 3．一个物体作直线运动，其位移对时间的变化规律为 s＝ 6t2－5t，则物体运动的初速度为________；加速度为_________. 象限． －5 m/s 12 ms －2 图 4－4－1 5．曲线 y＝x3－2x2－4x＋2 在点(1，－3)处的切线方程是 ______________. 5x＋y－2＝0 4．函数 y＝f(x)的图像过原点且它的导函数 g＝f′(x)的图像 是如图 4－4－1 所示的一条直线，则 y＝f(x)图像的顶点在第___ 一 考点 1 函数模型中的最优化问题 这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数 是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法， 即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧，而运用导数知识， 求复合函数的最值就变得非常简单． 【互动探究】 (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升． 令 h′(x)＝0， 得 x＝80. 当 x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数； 当 x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数． ∴当 x＝80 时，h(x)取到极小值 h(80)＝11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值． 答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地耗油最少为 11.25 升． 考点 2 几何模型的最优化问题 例 2：用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要 求长方体的长与宽之比为 2∶1，问该长方体的长、宽、高各为 多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【互动探究】 2．当底面半径为 R 的圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高为( )时，才能使所用材料最省？ B A．R B．2R C．3R D．4R 错源：新定义的边际函数理解不到位 例 3：某造船厂年造船量为 20 艘，造船 x 艘的产值函数为 R(x)＝3 700x＋45x2－10x3 (单位：万元)，成本函数为 C(x)＝460x＋ 5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x) 的定义为 Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)(利润＝产值－成 本)； (2)问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大； (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间． 误解分析：对新定义的边际函数理解不到位，导致建模困 难，并容易忽略自变量的取值范围． 纠错反思：认真审题，提取有用信息． 【互动探究】 证明：不妨设 f(x)＝ex－x－1， 则 f′(x)＝(ex) ′－(x) ′＝ex－1. ∵x0， ∴ex1，ex－10. ∴f′(x)0，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴f(x)f(0)，即 ex－x－1e0－1＝0. ∴exx＋1. 3．当 x0 时，求证：exx＋1. *