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§5.2 特征值与特征向量 数 = = 线 性 代 * 定义7 设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的 n维列向量x,使得 Ax=λx (5.5) 则称数λ为矩阵 A的特征值,称 x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量. 设x是对应于特征值λ的特征向量,由于 A(kx)=k(Ax)=k(λx)= λ(kx) k≠0 , 所以,kx也是A的对应于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值. (5.5)也可以写成 (A-λI)x=0 (5.6) 这是一个含 n个未知量的齐次线性方程组.根据定义7, A的特征值就是使(5.6)有非零解的λ,而方程(5.6)有非零解的充要条件是 |A-λI|=0 (5.7) 方程(5.7)的右端|A-λI|为λ的多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.此多项式称为A的特征多项式. λ0是方阵A的特征值,则由 (A-λ0I)x=0 可求得非零解 x=P 0,P0就是A的对应于特征值λ0的一个特征向量. 综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下: 第一步 计算特征多项式|A-λI|; 第二步 求出特征多项式|A-λI|的的全部根,即A的全部特 征值. 第三步 对于A的每个特征值λ0,求出齐次线性方程组 (A-λ0I)x=0的一个基础解系. 定理3 (2) 由于 推论 n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零. 注: 例11 设A是奇数阶实矩阵， 证 思考题 ：
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