【优化探究】2015届高考数学（人教a版·文科）总复习word版含详析：5-4数列求和能力提升.docVIP

[A组　基础演练·能力提升] 一、选择题 1．设{an}和{bn}都是等差数列，其中a2＋b2＝20，a99＋b99＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100＝(　　) A．6 000　　 B．60 000　　　C．600　　 D．5 050 解析：S100＝ ＝＝＝6 000. 答案：A 2．(2014年惠州调研)已知数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和S12＝(　　) A．76 B．78 C．80 D．82 解析：由已知得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B. 答案：B 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S100，S110，若Sn≤Sk对nN*恒成立，则正整数k的取值为(　　) A．5 B．6 C．4 D．7 解析：由S100，S110知a10，d0，并且a1＋a110，即a60，又a5＋a60，所以a50，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5. 答案：A 4．(2014年郑州模拟)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：依题意得，数列{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A. 答案：A 5．(2014年茂名模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝(　　) A．1 B．9 C．10 D．55 解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，又由于a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.故a10＝1. 答案：A 6．(2014年锦州模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(nN*)的前n项和是(　　) A. B. C. D. 解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1， m＝2，a＝1. f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n. ＝＝＝－. Sn＝＋＋＋…＋＋ ＝＋＋＋…＋ ＋＝1－＝. 答案：A 二、填空题 7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013＝________. 解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005. 答案：－1 005 8．(2014年石家庄模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________． 解析：由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为 －n＝2n＋1－2－n. 答案：2n＋1－2－n 9．(2014年武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又a1＝1适合上式，an＝2n－1，a＝4n－1. 数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列． a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 答案：(4n－1) 三、解答题 10．(2014年合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，nN*. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列； (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 解析：(1)点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上， an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n1，且nN*)． an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 即an＋1＝4an，(n1)． 又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， 当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列． (2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n， bn＝log4an＋1＝n. cn＝an＋bn＝4n－1＋n， Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋. 11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式； (2)若数列