3.3 关于有限群表示的基本定理3.3.1 幺正化定理.pptVIP

* §3.3 关于有限群表示的基本定理3.3.1 幺正化定理 定义：若一个群G的表示矩阵都是幺正矩阵，则这个表示称为G的幺正表示。 定理1：群的任何一个表示都可以经过适当的相似变换，而变为与原表示等价的么正表示。 证：对于给定的表示D(G)，要找出相似变换x，使得： ——① （假定D非幺正） 和 ——② 经过相似变换后， 仍为G的表示称等价表示。 将①式代入②式得：R，S∈G 即 即 ——（*） 据群的性质（和群表示的性质） ∴若能找到x，使 （*）式便成立了，也就证明了定理1。 （重排定理） 显然，H矩阵是厄来矩阵，总可通过么正的相似变换U使其对角化： 若令； 代入(xx+)-1, 而 ，定理得证。 ?以后的所有表示均看成幺正表示。 幺正矩阵 定理2：若群G{A1, A2, …Ak, … Ah}有两组等价的幺正表示： D(1)(A1), D(1)(A2), … D(1)(Ak), … D(1)(Ah) D(2)(A1), D(2)(A2), … D(2)(Ak), … D(2)(Ah) 且有矩阵M (或CM，C为常数) 使得 MD(1)(Ak)M-1= D(2)(Ak)(?Ak ?G) 则D(1)(G)和D(2)(G)之间相似变换可以借助于一个么正矩阵来实现。 （证明时用定理：与矩阵元各不相同的对角矩阵可对易的矩阵必为对角矩阵） 3.3.2 正交定理 Schur引理1：与群的某一不可约表示的所有矩阵可对易的矩阵（M）必为常数矩阵。（此引理对所有群均成立） 证：Ⅰ：若两个矩阵对易AB=BA，则经过相似变换后仍可对易，所以若表示矩阵不是么正，可用一相似变换使它么正，而对易性不变。 所以下面就认为D(R)为么正矩阵。 Ⅱ：若对M加上厄密条件，也不影响结论： 设群G，表示 若 ， 对此式两边取转置共轭： 两边乘 即： 么正，故上式即为： 即：只要M和D(R)对易，必有M+和D(R)对易， 则 都可对易。 H1和H2均为厄密，因此，只要证明D(R)和厄密矩阵H1, H2可对易，则D(R)必和M对易。所以下面就认为M为厄密矩阵。 V-1( )V Ⅲ: 对厄密矩阵M，总有幺正矩阵V，使 d为对角矩阵 ?么正矩阵之积仍为么正矩阵，故 仍为么正矩阵 ? 得： 证明： 设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等，作 这样的x一定存在 这时，上式变为： 即