8多元函数的极值及其求法.pptVIP

一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 * §8．8 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 极值的定义、 取得极值的必要条件 取得极值的充分条件、 极值的求法 最大值和最小值问题 条件极值、 拉格朗日乘数法 设函数z?f (x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该 邻域内异开(x0，y0)的点(x，y)：如果都适合不等式 f (x，y)f(x0，y0)， 则称函数在点(x0，y0)有极大值f(x0，y0)；如果都适合不等式 f (x，y)f(x0，y0)， 则称函数在点(x0，y0)有极小值f(x0，y0)． 极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值 点． 极值的定义： 例1 函数z?3x2?4y2在点(0，0)处有极小值． x y O z x y z O 例3 函数z?xy 在点(0，0)处既不取得极大值也不取得极小 值．因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域 内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 二元函数的极值概念，可推广到n元函数．设n元函数u?f(P) 在点P 0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于P 0的任何 点P都适合不等式 f(P)f(P0) (f(P)f(P 0)) 则称函数f(P)在点P0有极大值(极小值)f(P0)． 定理1 设函数z?f (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点 (x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0，y0)?0，fy(x0，y0)?0． 取得极值的必要条件： 类似地可推得，如果三元函数u?f (x，y，z)在点(x0，y0，z0) 具有偏导数，则它在点(x0，y0，z0)具有极值的必要条件为 fx(x0，y0，z0)?0，fy(x0，y0，z0)?0，fz(x0，y0，z0)?0． 凡是能使fx(x，y)?0，，fy(x，y)?0同时成立的点(x0，y0)称为 函数z?f (x，y)的驻点． 讨论： 驻点与极值点的关系怎样？ 答： 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．但函数的驻点不一 定是极值点． 定理2 设函数z?f (x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一 阶连续偏导数，又fx(x0，y0)?0，fy(x0，y0)?0，令 fxx(x0，y0)?A，fxy(x0，y0)?B，fyy(x0，y0)?C， 则f (x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： (1) AC ?B 20时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有 极小值； (2) AC ?B 20时没有极值； (3) AC ?B 2?0时可能有极值，也可能没有极值． 取得极值的充分条件： 极值的求法： 第一步 解方程组 fx(x，y)?0，，fy(x，y)?0， 求得一切实数解，即可得一切驻点． 第二步 对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B 和C． 第三步 定出AC ?B 2的符号，按定理2的结论判定f(x0，y0)是 否是极值、是极大值 还是极小值． 例4 求函数f (x，y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的极值． 求得驻点为(1，0)、(1，2)、(?3，0)、(?3，2)． 再求出二阶偏导数 fxx(x，y)?6x?6，fxy(x，y)?0，fyy(x，y)??6y?6． 在点(1，0)处，AC?B 2?12·60，又A0，所以函数的(1，0) 处有极小值f(1，0)??5； 在点(1，2)处，AC?B 2?12·(?6)0，所以f (1，2)不是极值； 在点(?3，0)处，AC?B 2??12·60，所以f (?3，0)不是极值； 在点(?3，2)处，AC?B 2??12·(?6)0，又A0，所以函数的 (?3，2)处有极大值f(?3，2)?31． 解方程组 解 函数的驻点．因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的 驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑． 应注意的问题： 不是驻点也可能是极值点． x y z O 如果f (x，y)在有界闭区域D上连续，则f (x，y)在D上必定能 取得最大值和最小值．这种使函数取得最大值或最小值的点既可 能在D的内部，也可能在D的边界上．我们假定，函数在D上