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定义1 设A为n阶矩阵，λ为一个数，若方程组Ax=λx有非零解x，则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于λ的特征向量. 定理1 下列每一个条件都是λ为矩阵A的特征值的充要条件： （1）存在一个非零向量x，使Ax=λx； （2）矩阵A-λI是奇异的； （3）det(A-λI)=0. 高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 §5.5 矩阵的特征值与特征向量 第五章 矩阵的相抵与相似 返回 把det(A-λI)与det(A-λI)=0分别叫做A的特征多项式与特征方程. 关于特征向量的几点说明： （1）对于每一个特征值λi，与λi对应的特征向量有无穷多个； （2）对应于同一个特征向量的线性组合，仍然是特征向量； （ 3）设x1，x2， ，xn-r为齐次方程组(A-λiI)x=0的一组基础解系，则它们就是对应于λi的线性无关的特征向量，而线性组x=c1x1+c2x2+ +cn-rxn-r就是对应于λi的全部特征向量，其中c1 ，c2， ，cn-r为不全为0的任意常数. 例1 求矩阵 的特征值与特征向量. 解：由特征方程 得特征值：λ1=1，λ2=-1. 对λ1=1，解(A-I)x=0 同解方程组为 令 ，得其基础解系为 ，于是对应于λ1=1的全部特征向量是 对λ2=-1，解(A+I)x=0 同解方程组为 ，令 ，得其基础 解系为 ，于是对应于λ2=-1的全部特 征向量是 . 例2 求矩阵 的特征值与特征向量. 解： 由特征方程 得特征值：λ1=λ2=2（二重特征值），λ3=4. 对λ1=λ2=2，解(A-2I)x=0 同解方程组为 ，令 ，得其基础解 系为 ，于是对应于二重特征值 λ1=λ2=2的全部特征向量是 对λ3=4，解(A-4I)x=0 同解方程组为 ，令 ，得其基础解 系为 ，于是对应于λ3=4的全部特 征向量是 . 例3 求矩阵 的特征值与特征向量. 解：由特征方程 得特征值：λ1=λ2=1（二重特征值），λ3=7.