CRANK-NICOLSON有限差分方法在温度模型中的算法及应用.docVIP

Crank-Nicolson有限差分方法在温度模型中的算法及应用 The caculationapplicaton of Crank-Nicolson finite difference method in the Temperature Model 济钢中厚板厂　岳临萍 ［摘要］本文主要介绍了在中厚板精轧机二级模型控制系统中温度模型的设计，对其使用的隐式差分方法-Crank-Nicolson方程的应用进行了详细的分析和解释，解读了模型的计算公式及相关的修正及曲线控制，对于模型的实现提出了可靠的论据。该模型是西门子自动化轧钢技术的关键之一。 ［关键词］　二级模型 有限元差分法 热方程 热传导 前言 在精轧机自动轧钢控制系统中，二级系统是整个系统的控制中枢，一般包括温度模型、物料跟踪模型、预计算模型、轧制模型等多个控制模型组成，其中温度模型的任务是在钢板轧制时准确的跟踪温度的分布状态。 温度模型应用一个隐式的有限差分技术来跟踪温度。尽管这个方法需要根据给出的隐含层节点数进行太多精深的计算，但它比一般的显示计算方法具有无条件稳定性的优势。这个模型使用半解析元近似算法，如一般辊缝的计算需要众多的时间步长来精确的跟踪温度的分布，而使用这个半解析元近似算法可以允许辊缝按照一个时间步长和足够精确的位数来计算，减少空间和时间方向的数据振荡及偏差，得到较为稳定的计算结果。 1、钢板在轧制过程中热传递的影响因素 钢板在轧制过程中逐渐降温，钢板的温度传递主要有以下6个方面的分布： 1.1除鳞箱的温度影响 温度的传递在除鳞箱中主要是传导。温度的传递系数主要依靠于喷在钢板上的水量的大小。环境温度就是水的温度。 1.2辊道的温度影响 温度在辊道上的分布（钢板的下表面）主要表现为传导和辐射的结合。相关的辐射量的计算要考虑到辊道区域的辐射反射。环境温度是空气温度。 1.3空气的温度影响 空气的热传递（钢板的上表面）主要表现为传导和辐射的结合。环境温度是空气温度。 1.4轧机机架除鳞的温度影响 轧机机架除鳞的温降算术计算同除鳞箱一样。 1.5预冷设备的温度影响 预冷设备的温降计算同除鳞箱一样。 1.6轧辊的温度影响 轧辊的热传递主要表现为热传导。传导系数根据轧辊、氧化铁皮和磨带的属性综合计算得出。环境温度是轧辊的上表面温度。 2、温度模型的设计与分析 2.1热传导方程 热传导方程是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化，是傅里叶冷却律的一个推论。热流是能量流的一种形式，表示为单位时间内流进空间中一块区域的热量。因为钢板的长和宽比厚度要大许多，根据几何学的关系得到热流的一个必然假设，将热流问题简化为对一维热方程，因此相应的热方程可以如下描述： --(公式1) km-热传导率,--物料的内热源,T-温度,(m-物料密度,cm-比热容,x-节点到上表面的距离 2.2温度模型的计算及修正 假设热流在上下表面同时存在，钢板温度的分布跟踪可以依据Crank-Nicolson有限差分方法来计算。这样可以上下表面分开独立的处理，目的是足够的对称性和钢板中心的温度执和下表面一样，并且假设热流量为零。为了得到方程的唯一解，必须指定表温度的边界条件。一般情况数值分析中，Crank-Nicolson方法是有限差分方法中的一种，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程，它在时间方向上是隐式的二阶方法，数值稳定。如图1所示，钢板在厚度方向可以分成N-1片，每一片为(x。每个节点连接着上表面和下表面的分片。 图1：Crank-Nicolson数值分析法 hu- 上表面热传导系数，hl-下表面热传导系数，q(u- 上表面外部热流，q(l- 下表面外部热流，Teu-上表面环境温度，Tel-下表面环境温度，N-隐含层节点数 2.2.1 钢板内部节点温度的计算 对于时间步j，内部节点的Crank-Nicolson 方程如下: ---(公式2) Fo-傅里叶级数, (x-节点间的距离,km-热传导率,-物料的内热源,Tij-节点i在时间步j时的温度 2.2.2 钢板上表面温度节点的计算 上表面的边界条件如下： (公式3) 对于时间步j，上表面节点的Crank-Nicolson 方程如下: (公式4) hu-热对流系数, q(u-上表面热流量，Biu-上表面毕奥数，Teu-上表面环境温度 2.2.3 钢板下表面温度节点的计算 同上表面的节点计算相似，Crank-Nicolson方程得到下表面节点方程如下： (公式5) q(l -上表面热流量，Bil-下表面毕奥数，Tel -下表面环境温度 由此可见，上述中的对于在当前时间步的特别节点的计算，Crank-Nicolson隐式差分方程不仅依赖于前一时间步的温度，同时也依赖于当前时