C余项f(n+1)(xa),条件在a的某邻域内f(n+1)可积.docVIP

C余项: f (n+1) (( ) (x ( a), 条件: 在a的某邻域内f (n+1)可积. ( 在a, x之间, ( = a + ( (x ( a) (0≤( ≤1). 特别地, a = 0时分别为 定理 1) e x =(x∈R). 2) sin x =(x∈R). 3) cos x =(x∈R). 4) (1 + x) ( =((≠0, (N, (0时|x|≤1, (1(0时(1x≤1, (≤(1时|x|1). 5) ln (1 + x) =(x∈((1, 1]). 证 1) f (n) (0) = 1, Taylor级数为, 收敛半径为∞. 又, | Rn (x)| = |→0 (x∈R, n→∞). 2) f (n) (0) =sin, Taylor级数为, 收敛半径∞, | Rn (x)|≤→0. 3) 由2)逐项微分. 4) f (n) (0) = ( (( ( 1) … (( ( n +1), Taylor级数为, 收敛域已在前面考虑过. 用Cauchy余项, 对| x | 1, | R n (x) | = . ∵ 1°01; 2°由0 1 ( | x |≤1 ( | ( x |≤|1 + ( x |≤1 + |( x | 2得|1 + ( x| ((1 ≤max {2 ((1, (1 ( | x | ) ((1}, 即|1 + ( x| ((1是与n无关的有界量; 3°由检比法, | x | 1时∑绝对收敛, 通项→0, ∴ lim Rn (x) = 0. 5) 由4)得= 1 ( x + x 2 ( … + ((1) n(1 x n(1 + …, 逐项积分. 特别地, 有 e = …, ln 2 = …, sin 1 = …, cos 1 = …. 廿三. 求Taylor展式的方法 (1) 一般方法. ① 求a n =得到Taylor级数; ② 求收敛半径R ; ③ 判断对哪 些x∈((R, R )有R n (x)→0; ④ 判断收敛区间端点处的收敛情况. (2) 代入法. 例如, 由+ … (| x|≤ 1) 得= … (| x 2 |≤1, 即 | x |≤1). (3) 算术运算(和,差,积). 例:,xn(|x |), (| x | 1), ∴(| x |), | x | =时是 收敛级数与发散级数之和, 发散. (4) 逐项微分、积分. 若 f (x) =∑a n x n (| x | R ), 则 f (x) = f (0) += f (0) + ∑x n+1(| x | R). 如: arctan x = 0 +=(| x | ( 1). △, ((1, 1]. △8 n x 3n, (1 (8x 3 ≤1, (≤x . △, (1x2 ≤1, 即| x |≤. △ln= ln (1+x) ( ln (1(x) =(| x |1). 或 (ln) == …. △ (1+ x) ln (1+x) = + = x + ((1x≤1). 或(…) = 1+ ln (1+x) = …. △ln (x +). (…) =) (| x |≤). ∴ln (x +) = ln+= ln+ … (| x |≤). △ cos 2 x = (x∈R). 或(…) = (sin 2x = …, cos2 x = 1(= …. △= 1(x+x3 ( x 4 + x 6 ( x 7 + … + x 3n ( x 3n+1 + … (*=), | x |1. △ sin 2 x cos 2 x = = …. 或(…) = sin 4x = …. △x arctan x ( ln, 用运算或(…) = arctan x = …. △求 f (x) = 在x = 2处的展开式. 解 令x (2 = t (在t = 0处展开), 则= =(| x (2|1). 利用幂级数求数项级数的和: 从函数的展式, 例如, 从arctan x =知道 =. 反之, 如果要求, 可考虑, 求出其和 arctan x, 从而得=. arctan x可看作的母函数或生成函数. △. 设f (x) =x 3n+1, 则f (x) = ∑((1) n x 3n =, f (0) = 0, f (x) = , f (1) = . △=. 设f (x) =( =((x ln (1 ( x) ((( ln (1 ( x) ( x (((1≤x1). 令x→1得f (1) =.