第八章弹性体的应力和应变1.docVIP

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弹性体的应力和应变 迄今为止,我们总是把研究对象简化为“质点”或“刚体”这样的理想模型。我们都知道刚体是在任何情况下形状大小都不发生变化的力学对象,用质点系的观点来说,就是内部质点之间没有相对运动。但是,任何物体在力的作用下都或多或少的发生形变,而且,有些物理现象,从本质上来讲,就是形变引起的,如声音在弹性媒质中的传播和媒质内的形变有关。因此,讨论物体在力作用下形变的规律,也是力学不可缺少的内容。 本章及后面两章将讨论连续媒质力学: 连续媒质的共同特点是其内部质点间可以有相对运动。宏观地看,连续媒质可以有形变或非均匀流动。 弹性体:若物体所受外力撤消后,在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失的物体,相应的形变叫弹性形变。显然,弹性体也是一种理想模型。即不存在绝对弹性体,只有近似的弹性体,例如,房屋的地基,水库的堤坝等在形变极小时,均可视为弹性体。 若弹性体内各点弹性相同,则叫作均匀弹性体,若每点的弹性不仅相同,而且与方向无关,则叫均匀、各向同性弹性体。 处理连续媒质的办法不是把它们看成一个个离散的质点,而是取“质元”,即有质量的体积元。在连续媒质力学中,力也不再看作是作用在一个个离散的质元上,而看成是作用在“质元”的表面上,因而需要引进作用在单位面积上的力,即“应力”的概念,为止,我们先来讨论弹性体的拉伸和压缩。 §8.1 弹性体的拉伸和压缩 在上一章中采用的是刚体模型,要把固体的一切形变都忽略了,在本章中我们将讨论固体的弹性,即讨论固体在外力作用的形变规律。 外力、内力和应力 我们先来研究横截面线度远小于其长度的直杆的拉伸和压缩形变。如图所示,直杆的典型受力情况为两端受到沿轴线的力且处于平衡。称一对拉力或压力和为外力, 一般情况下 ||mg (忽略不计) || mg 内力:假想截面AB两侧相互施以向上(下)的拉(压)力:和–于忽略重力,且处于平衡,故而 || = || = || (正)应力: 其中: s — 横截面积 — 内力在横截面处法线(即方向)上的投影 拉伸应力 0 与同向 压缩应力 0 与反向 的单位: 称为 “帕斯卡” (国际单位制) 的量纲: (L— 长度 M— 质量 T— 时间) 〔例题1〕P333 求壁内沿圆周切向的应力(忽略容器自重和大气压力) 解:过圆心沿纵向取假想截面,其长度取为一个单位,将一半圆柱形容器和气体作为研究对象,受力情况如下图: 按平衡条件: (下方气体对上方气体的力 下方器壁对上方气壁的力) 则有: 器壁内沿圆周的拉伸压力, 由此可见: 圆柱形容器外部受压而内部压强较小时,刚沿圆周切向有压缩压力。 故一般的拱形建筑,需要用有较强耐压能力的砖石材料。 直杆的线应变 如图所示,直杆在竖直方向外力作用下发生拉伸或压缩形变, — 原长 — 形变的长度 有 无论是绝对伸长还是绝对压缩,都不能很好的反映形变程度,如10m和1m长的杆却伸长或压缩0.1m,形变程度相差很大,为此需引入相对伸长(压缩),又叫线应变。 0 拉伸形变 线应变 0 压缩形变 显然,拉伸、压缩形变时,除轴纵向有形变外,还将产生横向形变: 当 0 拉伸形变,横向收缩 0 压缩形变,横向膨胀 设直杆横截面为正方形,每边长为 形变前: 形变后: 横向相对形变或横向应变为:= 一般情况下, 即此值: (其中为泊松系数,是描写物质弹特征的物理量) 表8.1给出了一些常见材料的值 胡克定律 胡克于1678年从实验中总结出,对于有拉伸、压缩形变的弹性体,当应变较小时,应变与应力成正比,即: 胡克定律 (— 应力、— 应变 Y— 扬氏模量) ∵ ∴ 胡克定律及表示为 而元量纲量,故 Y与有相同的量纲或单位 讨论:① 由 可知 ↑ ↑↑ ↓ ↓ 反之 ↓↓ ↑ 总之,扬氏模量反映材料对拉伸或压缩变形的抵抗能力,对一定的材料, 但

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