第八章弹性体的应力和应变1.docVIP

弹性体的应力和应变 迄今为止，我们总是把研究对象简化为“质点”或“刚体”这样的理想模型。我们都知道刚体是在任何情况下形状大小都不发生变化的力学对象，用质点系的观点来说，就是内部质点之间没有相对运动。但是，任何物体在力的作用下都或多或少的发生形变，而且，有些物理现象，从本质上来讲，就是形变引起的，如声音在弹性媒质中的传播和媒质内的形变有关。因此，讨论物体在力作用下形变的规律，也是力学不可缺少的内容。 本章及后面两章将讨论连续媒质力学： 连续媒质的共同特点是其内部质点间可以有相对运动。宏观地看，连续媒质可以有形变或非均匀流动。 弹性体：若物体所受外力撤消后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失的物体，相应的形变叫弹性形变。显然，弹性体也是一种理想模型。即不存在绝对弹性体，只有近似的弹性体，例如，房屋的地基，水库的堤坝等在形变极小时，均可视为弹性体。 若弹性体内各点弹性相同，则叫作均匀弹性体，若每点的弹性不仅相同，而且与方向无关，则叫均匀、各向同性弹性体。 处理连续媒质的办法不是把它们看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即有质量的体积元。在连续媒质力学中，力也不再看作是作用在一个个离散的质元上，而看成是作用在“质元”的表面上，因而需要引进作用在单位面积上的力，即“应力”的概念，为止，我们先来讨论弹性体的拉伸和压缩。 §8.1 弹性体的拉伸和压缩 在上一章中采用的是刚体模型，要把固体的一切形变都忽略了，在本章中我们将讨论固体的弹性，即讨论固体在外力作用的形变规律。 外力、内力和应力 我们先来研究横截面线度远小于其长度的直杆的拉伸和压缩形变。如图所示，直杆的典型受力情况为两端受到沿轴线的力且处于平衡。称一对拉力或压力和为外力， 一般情况下 ||mg (忽略不计) || mg 内力：假想截面AB两侧相互施以向上（下）的拉（压）力：和–于忽略重力，且处于平衡，故而 || = || = || （正）应力： 其中: s — 横截面积 — 内力在横截面处法线(即方向)上的投影 拉伸应力 0 与同向 压缩应力 0 与反向 的单位: 称为 “帕斯卡” (国际单位制) 的量纲： (L— 长度 M— 质量 T— 时间) 〔例题1〕P333 求壁内沿圆周切向的应力(忽略容器自重和大气压力) 解：过圆心沿纵向取假想截面,其长度取为一个单位,将一半圆柱形容器和气体作为研究对象,受力情况如下图: 按平衡条件: (下方气体对上方气体的力 下方器壁对上方气壁的力) 则有: 器壁内沿圆周的拉伸压力, 由此可见： 圆柱形容器外部受压而内部压强较小时,刚沿圆周切向有压缩压力。 故一般的拱形建筑，需要用有较强耐压能力的砖石材料。 直杆的线应变 如图所示，直杆在竖直方向外力作用下发生拉伸或压缩形变， — 原长 — 形变的长度 有 无论是绝对伸长还是绝对压缩，都不能很好的反映形变程度，如10m和1m长的杆却伸长或压缩0.1m，形变程度相差很大，为此需引入相对伸长（压缩），又叫线应变。 0 拉伸形变 线应变 0 压缩形变 显然，拉伸、压缩形变时，除轴纵向有形变外，还将产生横向形变： 当 0 拉伸形变，横向收缩 0 压缩形变，横向膨胀 设直杆横截面为正方形，每边长为 形变前： 形变后： 横向相对形变或横向应变为：= 一般情况下， 即此值： （其中为泊松系数，是描写物质弹特征的物理量） 表8．1给出了一些常见材料的值 胡克定律 胡克于1678年从实验中总结出，对于有拉伸、压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比，即： 胡克定律 （— 应力、— 应变 Y— 扬氏模量） ∵ ∴ 胡克定律及表示为 而元量纲量，故 Y与有相同的量纲或单位 讨论：① 由 可知 ↑ ↑↑ ↓ ↓ 反之 ↓↓ ↑ 总之，扬氏模量反映材料对拉伸或压缩变形的抵抗能力，对一定的材料， 但