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§101常数项级数的概念和性质.ppt
§10.1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 给定一个数列 u1, u2, u3, ? ? ?, un, ? ? ?, 则由这数列构成的表达式 u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? 常数项级数 其中第n项un叫做级数的一般项. 一、常数项级数的概念 常数项级数 称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项. 表达式 级数的部分和 级数的前n项的和 级数举例 调和级数 几何级数 级数的展开形式 备注 一般项 简写形式 等比级数 aqn-1 p—级数 级数敛散性定义 级数敛散性定义 如果级数的部分和数列有极限, 则称级数收敛; 如果级数的部分和数列没有极限, 则称级数发散. 余项 rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 如果q?1, 则部分和 解 当|q|=1时, 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零, 例1 例2 证明级数 1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是发散的. 此级数的部分和为 证 因为 解 提示: 例3 性质1 二、收敛级数的基本性质 sn、sn、tn, 则 性质2 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 二、收敛级数的基本性质 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(1?1)+(1?1) +? ? ?收敛, 但级数1-1?1-1?? ? ?却是发散的.
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