§2无穷积分的性质与收敛判别.docVIP

§2 无穷积分的性质与收敛判别 教学目的：掌握无穷积分的性质及收敛性判别。 重点难点：重点与难点为函数无穷积分的收敛性判别法。 教学方法：讲练结合。 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于函数在时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是：任给0，存在G≥，只要，便有 ． 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质． 性质1 若与都收敛，、为任意常数，则 也收敛，且 ． (1) 性质2 若在任何有限区间[]上可积，，则与同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有 =+, (2) 其中右边第一项是定积分． 性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出收敛的 另一充要条件：任给，存在，当G时，总有 ． 事实上，这可由 结合无穷积分的收敛定义而得． 性质3 若在任何有限区间[)上可积，且有收敛，则 亦必收敛，并有 ． (3) 证 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给，存在G≥，当时，总有 . 利用定积分的绝对值不等式，又有 . 再由柯西准则(充分性)，证得收敛 又因，令 取极限，立刻得到不等式（3） 当收敛时，称为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛． 称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛． 二 比较判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法． 由于关于上限是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法： 定理11.2(比较法则) 设定义在[)上的两个函数和都在任何有限区间[]上可积，且满足 ， 则当收敛时必收敛(或当发散时，必发散)． 例1 讨论的收敛性． 解 由于，以及为收敛，根据比较法则，为绝对收敛． 上述比较法则的极限形式如下： 推论1 若和都在任何[)上可积，，且则有 (i)当时，与与同敛态； (ii)当时，由收敛可推知也收敛； (iii)当时，由发散可推知也发散. 当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论2 设定义于[] ()，且在任何有限区间[]上可积，则有： (i)当 ,且时, 收敛; (ii)当且时, 发散. 推论3 设定义于[)，在任何有限区间[]上可积，且 ． 则有： (i)当 时, 收敛; (ii)当 时, 发散. 例2 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1) 2) ． 解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事 1)由于对任何实数都有 ， 因此根据上述推论3，推知1)对任何实数都是收敛的 2) 由于 因此根据上述推论3推知2)时发散的. 对于的比较判别亦可类似地进行. 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若在[)上有界，在[上当时单调趋于收敛． 证 由条件设．任给,由于 ，因此存在G≥，当G时，有 . 有因g为单调函数，利用积分第二中值定理 (定理9.10的推论),对于任何,存在 ,使得 ． 于是有 根据柯西准则，证得收敛． 定理11．4(阿贝尔(Abel)判别法) 若收敛，在[)上单调有界，则收敛． 同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明． 例3 讨论与的收敛性． 解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当1时绝对收敛．这是因为 而当1时收敛，故由比较法则推知收敛. (ii)当时条件收敛．这是因为对任意≥1，有，而当时单调趋于，故由狄利克雷判别法推知工当时总是收敛的． 另一方面，由于 ， 其中满足狄利克雷判别条件，是