§51变系数二阶线性齐次常微分方程的特殊解法.pptVIP

§5.1变系数二阶线性齐次常微 分方程的特殊解法 一.引言 二.线性常微分方程的变换性质 三.常系数化法 四.降阶法 一.引言 1. 求解二阶线性常微分方程的重要性 2. 困难 3. 解决问题的途径 二. 线性常微分方程的变换性质 设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方程为 （5。1——1） 1. 方程（5。1——1）对自变量的任意变换的保线性性 2. 方程（5。1——1）对未知函数的线性变换的保线性性 三.常系数化法 1.通过自变量的变换使方程的系数化为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方程的系数化为常数 例１. 将Ｅuler型方程 解: 将方程化为标准型(５.１—１) 四. 降阶法 1.d’Alembert 降阶法 设已知一个特解（用观察法）y1,用变换y=uy1 可以把原方程化为关于u的一阶线性方程。 2.利用算子因式分解降阶 END 求解二阶线性常微分方程的 重要性 这些方程 是物理学与科学技术最常见的，有直接应用； 是解高阶线性常微分方程的基础； 是解数学物理方程和学习后继课程的基础。 2. 困难 最一般的二阶变系数线性常微分方程非常难解，至今没有一般的方法。 3. 解决问题的途径 一阶线性常微分方程总是可解的; 降阶法——化二阶为一阶. 二阶常系数线性常微分方程总是可解的; 常系数化法——化变系数为常系数. 如：著名的Euler方程及其它一些方程。 但是，都没有解决哪些方程可以常系数化，用什么变换，怎么找到这个变换，变换成什么样的常系数方程，以便迅速求解。 方程（5。1——1）对自变量的任意变换的保线性性 2. 方程（5。1——1）对未知函数 的线性变换的保线性性 1.通过自变量的变换使方程的系 数化为常数 如 2.通过未知函数的齐次线性变换使 方程的系数化为常数 * * (a,b为常数) 常系数化 例.2. 将μ 阶Ｂessel方程 ( μ为常数)常系数化. 解: 根据判别式 若 可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在 (5.1-12)中取 方程（5。1——1）化为 若β=0，上式化为 *