§5．2定积分的性质中值定理.pptVIP

定积分中值定理： * §5．2 定积分的性质 中值定理 两点规定 定积分的性质 定积分中值定理 定积分的性质 中值定理 (1)当a ? b时， (2)当a b 时， ． ． 定积分的性质 中值定理 两点规定： 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)， 即 证明 定积分的性质： 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定 积分等于这两部分区间上定积分之和， 值得注意的是，不论a，b，c的相对位置如何，总有此等式． 即 即 注 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)， 即 定积分的性质： 例如，当abc 时，由于 于是有 注：不论a，b，c的相对位置如何，总有下述等式． c O y x a b f (x) dx f (x) dx f (x) dx 性质4 如果在区间[a，b]上 f (x)?1，则 性质5 如果在区间[a，b]上，f (x)?0，则 推论1 如果在区间[a，b]上，f (x)? g(x)，则 推论2 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最 小值，则 证明 证明 证明 证明 因为g (x)?f (x)?0，由性质5得 所以 O x y a b y=g(x) y=f (x) 推论1 如果在区间[a，b]上，f (x)? g(x)，则 ． 证明 因为 ?|f (x)| ? f (x) ? |f (x)| ， 所以 即 推论2 M 证明 因为 m? f (x)? M ，所以 从而 M (b?a) m y=f (x) f (x) dx m(b?a) O x y a b 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最 小值，则 ． 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连 续， 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x ， 使下式成立： f (x)dx ? f (x )(b?a) --------积分中值公式． y=f (x) O x y a b f (x) f (x) dx =f (x)(b?a)