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几种多元函数条件极值的解法之比较 朱江红 孙兰香 （沧州师专 数学系，河北 沧州 061001） 摘要：多元函数的条件极值是数学分析和高等数学中的一个重要内容，它的一般求解方法为拉格拉朗日乘数法。给出了四种求多元函数条件极值的方法并比较了适用的条件及难易程度，以便在求解类似的问题时选择适当的方法。 关键词：条件极值；柯西不等式；均值不等式；拉格朗日乘数法；梯度 引言 多元函数的条件极值是数学分析和高等数学中的一个重要内容，其求解方法一般以拉格拉朗日乘数法为多。尝试用柯西不等式、均值不等式、拉格朗日乘数法和梯度法求解，并比较了适用的条件及难易程度，旨在为同行在遇到求解类似问题时提供参考与选择。 一、柯西不等式法 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的流数问题时得到的一个非常重要的不等式，，总有 ……………………..（1） 简述为“积和方不大于方和积”；，当且仅当实数与对应成比例时，等号成立。[1] 由此，得到两个重要结论： （1）若 则 （2）若; 则 （其中）[2]。 运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配，凑”成柯西不等式的左边或右边的形式，最终求得极大值或极小值。 例1：已知，求的最值。 解：首先将变形为 ； 再设， 于是，根据柯西不等式（1）及已知条件，有 =81 即： 当且仅当时，等号成立； 即当时，；当时，， 所以，；。 二、均值不等式法 利用均值不等求函数的极值，也是要把函数先进行变形，再利用“积定”求和的极小值或是“和定”求积的极大值。 均值不等式：（当且仅当时，等号成立；；）………………………………………………………………………………..（2） 在应用均值不等式（2）时，无论怎样变形，一定要满足“一正二定三相等”的条件。 例2：已知，，求的极小值。 解：， == （当且仅当时，等号成立）。 此题如果改用柯西不等式法求解也很简单。 三、拉个朗日乘数法 拉格朗日乘数法是求条件极值的一种方法在条件函数，（）组限制下的极值。若及有连续的偏导数，且雅克比矩阵的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值。 首先，构造拉格朗日函数 =+ 然后，解方程组。从此方程组中解出驻点的坐标，，进而求出函数的极值[3] [4]。 例3：求出椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积。 解：此椭球在点处的切平面为，化简得：，此平面在三个坐标轴上的截距为则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为：；由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目标函数在条件下的最大值，其中， 拉格朗日函数为。 由解得 四、梯度法 利用梯度法求目标函数在条件函数（）组限制下的的极值。首先求目标函数的梯度向量，；设为m个条件相交部分的方程，把多个条件转化为一个条件，而曲面在点处的法向量为:，注意其中；设曲面在点处的切平面上的一个切向量为：，则有==0；然后令，可以得到一个切向量，如令，，，消去，于是得到切平面上的一个切向量，类似可以得到另外的个向量，，…，;把这个向量与作内积并令它们为0，得到个方程，再与m个条件函数联立构成方程组，即可求出稳定点。[5] 例4：已知抛物面被平面截成一个椭圆，求原点到这个椭圆的的最长和最短距离。 解：设为椭圆上的点，则它到原点的距离的平方为，先求目标函数在条件与下的最大与最小值； 设；；；+； 曲面在点的法向量为。另外，可以求得曲面在点的切平面上的两个向量，一个是；另一个向量，把这两个向量与作内积应得0；由此而得到的两个方程再与两条件函数联立，可以得到： 于是，解得的驻点为，；由题意可知，这种距离的最大值和最小值都存在，所求的距离最大值和最小值分别在这两点取得：，，。 结束语 由以上阐述可以看出，求单一条件极值和多条件极值的方法，有其独特性，但有时甚至有其通用性。譬如： （1）求单条件极值时，若原问题通过变形、调整可转化为如下任何一种形式后，即：“和为定值，求积的最值积为定值，求和的最值倒数和为定值，求和的最值一正、二定、三相等在点的切平面上的向量选取的方法不同，计算的难易程度略有不同。 参考文献： [1] 王仁发．高等代数专题研究[M].北京：中央广播电视大学出版社，2003． [2] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵羊师范学院学报，2008.27(2)：14-15. [3] 华东师范大学数学系．数学分析(第2版，下册)[M]．北京：高等教育出版社，2002. [4] 同济大学应用数学系.高等数学(第5版,下册)[M].北京:高等教育出版社,2002. [5] 唐军强.用方向导数发求解多元函数极值[J].科技创新导报，2008． Comparison of Several Solutions to Find the Conditional Extrem