“换元法”解正弦型函数的最值问题.docVIP

“换元法”解正弦型函数的最值问题 三角函数的解答题在历届的高考中都是考查的重点内容.一般来说都是两小问，第一个问题都会涉及到三角函数的化简，而第二问的内容就比较丰富了，其中“在给定自变量范围的条件下求函数的最值”这一类问题是非常常见的. 一、知识回顾 1、三角函数的图象要熟练掌握； 2、会熟练转化正弦型函数 二、例题讲解 例1 已知函数（）的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围． 解：（Ⅰ） ． 因为函数的最小正周期为，且，所以，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 设，则 因为， 所以， 所以 所以结合图象可得， 所以，即的取值范围为． 方法小结：通过例1我们不难发现，这类问题先是通过化简达到正弦型函数的形式，然后令，从而先研究的值域（结合图象），然后进一步推理出的值域，即的值域． 例2 已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数在区间上的值域． 解：（Ⅰ）因为 所以 设，则 由得 所以 所以函数图象的对称轴方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 经过换元后得 因为 所以 即 结合图象得 所以 函数 在区间上的值域为 例3 设函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值． 解：（Ⅰ）= = = 故的最小正周期为T = =8 （Ⅱ）因区间关于x = 1的对称区间为， 与的图象关于x = 1对称， 所以在上的最大值为在上的最大值 由（Ⅰ）知＝ 设，则 因为， 所以 即 结合图象可知 所以 所以在上的最大值为 . 三、课堂小结：这类问题的主体是在给定取值范围的情况下求正弦型函数或是余弦型函数的最值问题，而解决这类问题的主要方法是通过换元，先研究的取值范围.当然不同的题目还会略有变化，同学们还要区别对待，但总的方法是不变的. 服务热线：400-888-4653 第5页 共5页