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《函数的奇偶性》教学案例 尤溪一中 姜志茂 一、教学目的 理解函数奇偶性的定义，能利用定义判断或验证给定函数的奇偶性， 2、初步运用奇偶性，如求函数值、求函数解析式、作函数图象等 3、体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想 二、教学重点、难点 重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定 难点：单调性的判定及应用 三、教学过程 （一）新课引入 我们知道，函数的单调性反应在图象上就是图形的上升与下降趋势；函数的最大值最小值在图象上看也就是它的最高点与最低点。那么函数的奇偶性又是什么呢？我们一起来观察函数，的图象。 （二）新课——函数的奇偶性 1、对于的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于轴对称，是轴对称图形。对于的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于原点对称，是点中心对称图形。 2、那么如何利用函数值描述这种对称性呢？求下表中的函数值并比较 -3 -2 -1 0 1 2 3 对于，由于图形关于轴对称图形，故有； 对于，由于图形关于原点对称，故有。 3、事实上，我们取点，，如图所示， 如果它们关于轴对称，则有， 如果它们关于原点对称，则有， 4、定义：一般地，对于函数的定义域内的任一个， 如果都有，则称函数是偶函数；所以偶函数的图象关于轴对称。 如果都有，则称函数是奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 5、适时巩固 （课本，P39，思考）判断函数的奇偶性并补全图象 （课本，P40，练习）已知函数的奇偶性补全图象 （三）例题——判断函数的奇偶性 1、（课本，P39，例5）判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 设计说明：巩固函数奇偶性的概念，培养学生的自学能力 分析：①先求定义域，再求，，比较二者是否相等或相反，结论，②由学生阅读课本自学，③强调解题格式 解：（格式）（1）函数的定义域为， 又， ， 是偶函数 2、（补充）判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） 设计说明：适当提高，让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法 分析：对于（1）（2），由于定义域关于原点不对称，存在无意义的情形，对于（3）可举特例，得到非奇非偶的类型；对于（4）（5），先求定义域，适当化简解析式后，比较得出奇偶性，对于既是奇又是偶的函数，其解析式为 ，而由定义域不同可得不同函数 解：（略） 3、（补充）已知是偶函数，且定义域为，求的值。 设计说明：让学生明确函数的奇偶性是对于整个定义域而言的，明确二次函数为偶函数的条件 分析：奇偶性的前提是定义域要关于原点对称，理解对定义域内的任一个恒成立，另外也可注意二次函数图象即抛物线的对称轴为轴。 解：， （四）提高——奇偶性运用 （思考）已知是奇函数，当时，，求当时，的表达式。 设计说明：奇偶性的具体运用，进一步理解，理解当自变量取一对相反数时，函数值的相等与相反 分析与提示：（1）先求，， （2）再求，，，发现什么？ （3）当时，， ，据奇函数 解：当时，， （作图验证一下） （五）小结——构建知识网络 （1）奇偶性的定义是什么？其图象有什么性质？ （2）判断奇偶性的前提与步骤是什么？ （3）奇偶性的运用，求值，作图，求解析式 （六）作业——巩固与反馈 1、课本，P43，习题A组，第6题 2、已知函数对一切都有，①求证：是奇函数，②若，试用表示的值。 五、教学说明 “函数奇偶性”是一个重要的数学概念，其研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，整节课可让学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成，学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。 教学中努力体现出学生的思维过程：（1）由学生观察图象的对称性，从直觉上认识奇函数与偶函数的概念。（2）通过表格中数据（函数值）的相等相反关系，得出对称性的本质是坐标的关系。（3）再以精确的数学语言来定义函数的奇偶性 教学要求是：让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法，理解定义域的要求，理解图象的对称性，了解奇偶性的四种类型，并初步运用奇偶性。 教学方法上，本节致力于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本节努力实现新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。 六、教学反馈 （略） 第 5 页 共 5页