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《 抽象代数基础 》教案 授课时间 第 30 次课 授课章节 2.6 整环的因子分解 任课教师 及职称 李刚副教授 教学方法 与手段 讲授法、板书 课时安排 6 使用教材和 主要参考书 《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4 《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7 教学目的与要求： 明确单位、相伴、素元、主理想整环、欧式环、唯一分解整环 教学重点，难点： 主理想整环、唯一分解整环、欧式环之间的关系 教学内容： 2.6整环的因子分解 定义1 设R是一个整环 R中的（乘法）可逆元称为是R的单位 设，若存在使a=bc，则称b整除a，记为。 设，若，则称a与b相伴。 命题1 a与b相伴存在单位使 证明： 由知存在使b=ac，a=bd，于是a=acd，若a=0，则b=ac=0，故a=b； 若，则由a=acd消去a得cd=1，所以c，d为R的单位，因而总存在单位使。 若有单位使，则，所以，即a与b相伴。 定义2 设R是一个整环， 设且，则R中的单位及a的相伴元都是a的因子，称为是a的平凡因子，a的非平凡因子称为a的真因子。 设且，若a不是单位且没有非平凡的因子，即a的因子只有单位和a的相伴元，则称a是既约元。 命题2 设R是整环，则 a是单位（a）=R a与b相伴（a）=（b） b是a的真因子 a是既约元（a）是非零的极大主理想，即不存在主理想（b）使 命题3 设R是整环，则R的既约元的相伴元也是既约元。 证明：设a是既约元，b是a的相伴元，则（a）=（b），于是得证。 定义3 设R是整环，且p不是单位，如果对任意的a，b属于R，由必有或者，则称p是素元。 例如：在Z中，素数是素元，F[x]中，不可约多项式是素元。 命题4 设R是整环，且p不是单位，则p是素元（p）是素理想 定义3 设R是整环，如果R的每个理想都是主理想，即都可以由一个元素生成，则称R是主理想整环。 命题5 设R是主理想整环，I是R的非零真理想，则 I是素理想I是极大理想 命题6 设R是主理想整环，是非零非单位的元素，则p是素元p是既约元 证明： 已证， 假设p是既约元，我们来证明（p）是极大理想。设I是R的一个理想使， 教学内容： 由于R是主理想整环，所以存在使得I=（a），因而存在使p=ab，而p是既约元，所以a为单位或者b为单位，若b为单位则（p）=（a），矛盾，所以a必为单位，从而I=（a）=R，所以（p）是R的极大理想，从而也是素理想，从而p是R的素元。 定义4 设R是整环，假设从R的非零元的集合到非负整数集合有一个映射使得对，都存在使，其中或， （*） 则称是欧式环，简称R是欧式环，简称R是欧式环，而算式（*）称为欧式除环。 定理1 欧式环一定是主理想整环 证明：设是欧式环，I是R的任意一个理想，若I={0}，则显然I是主理想。假设，则集合非空，且存在最小数，设使得是这个集合中的最小数，则对都有，下证I=（a）。 对，由于R是欧式环，所以存在使b=qa+r，其中r=0或者，易证r=0，从而，因而I=（a）。所以R是一个主理想整环。 定义5 设R是一个整环，如果R满足下列条件 （1）（存在性）R中的每个非零非单位的元素都可以表示成一些既约元的乘积的形式：其中都是既约元 （2）（唯一性）若，其中都是既约元， 则必有m=n且适当调整顺序后有与相伴，则称R是一个唯一分解整环。 命题7 R是一个唯一分解整环，是非零非单位的元素，则 p是素元p是既约元 定理2 主理想整环是唯一分解整环 于是，欧式环，主理想整环和唯一分解整环之间的关系是： {欧式环}{主理想整环}{唯一分解整环} 定义6 设R是一个整环， 如果，则称d是的一个公因子 如果d是的公因子而且若也是的一个公因子则必有，则称d是的一个最大公因子。 教学内容： 定理3 唯一分解整环中的任意两个元素都有最大公因子 命题8 设R是一个主理想整环，则d是a，b的最大公因子（a）+（b）=（d），而且对a，b的任意最大公因子（a，b），存在使（a，b）=sa+tb 证明： 若d是a，b的最大公因子，则且，于是且，从而。由于R是主理想整环，所以存在使，则，即，而d是a，b的最大公因子，所以，于是，即，所以 假设，则由，得且。又若且，则，，于是，故，则，所以d是a，b的一个最大公因子。由于，所以存在使。 《 抽象代数基础 》教案 复习思考题、作业题： P57 1、3、5、7、9、13 下次课预习要点 唯一分解整环上的多项式环 实施情况及教学效