《数学分析》第二章教案.docVIP

数列极限 本章的教学目的及要求 正确掌握并理解数列极限的概念； 能够应用“”语言处理数列极限的一些问题； 能运用定义、四则运算、两边夹、海因定理及单调有界性定理等，判别数列极限的存在性；并熟练求出数列极限； 能够正确叙述和证明数列极限的唯一性、有界性、保号性、不等式性和柯西收敛准则 本章的基本教学内容 §1 数列极限的概念 [本节的教学目的及要求] 1、正确掌握并理解数列极限的概念； 2、能够应用“”语言处理数列极限的一些问题； [本节的基本教学内容] 数列极限的概念[注意从一串有顺序的数，过渡到值列函数的形式] 定义1 称一串有顺序的数为数列.若一串有顺序的数为： 则记该数列为，其中为通项. 定义2 若的定义域为N+，则当自变量从小到大排列时，相应函数值的排列称之为数列，记为. 注：当时，两定义一致. 2、通过对数列的观察，得出收敛数列和不是收敛数列的概念. 同时，还要得出收敛数列的特征：随着n的无限增大，无限地接近某个数a，并进一步分析收敛数列的特征. 3、通过以上分析得出：当n充分大时，可以任意小是收敛数列的本质，从而得出收敛数列的精确定义：（定义）. 定义3 对于数列，设a为常数，若对当时，有成立，则称收敛于a，并称a为的极限，记为，或者， 举若干（3～5个）例子，来应用、运用定义求和验证数列的极限[参考教材上例2、 例3、例4、例5] 进一步诠释数列极限的定义中(i)的任意性；(ii)N的相应存在性；(iii)几何意义及的正面叙述. [注意几何意义的R和R2的分析表述]. 介绍无穷小数列. 定义4 若，则称为无穷小数列. 定理2.1 为无穷小数列. [证明略] 注：本节计划2学时. §2 收敛数列的性质 [本节的教学目的及要求] 利用“”定义证明收敛数列的6个性质及海因定理.从而使学生能更好地判定数列的收敛与发散；能更快捷地求收敛数列的极限；同时，能使学生更熟练地使用“”语言. [本节的基本教学内容] 证明收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、两边夹定理及四则运算法则. 定理2.2(唯一性) 若收敛，则它只有一个极限. [证明用反证法，略] 定理2.3（有界性） 若收敛，则有界. [证明中注意,其它略] 定理2.4(保号性) 若则对 当时,有 [证明略] 定理2.5(不等式性) 若当时, 则. [证明略.注意即使] 定理2.6(两边夹定理) 若当时,则. [证明略] 定理2.7(四则运算法则) 若则 ; [证明略] 介绍子列的概念及证明海因定理. 定义5 若N+.则称为的子列,简记为. 定理2.8(海因定理) 收敛的任何非平凡子列均收敛. [证明略] 注：本节计划3学时. §3 数列极限存在的条件 [本节的教学目的及要求] 能够掌握并运用单调有界性定理及柯西收敛准则. [本节的基本教学内容] 介绍单调数列的概念,并证明单调有界性定理. 定义6 若,则称为单增(不减)数列; 若,则称为单增(不增)数列. 定理2.9(单调有界性定理) 单调有界数列必有极限. [证明略] 介绍柯西收敛准则及应用它证明某些数列的收敛性与发散. 定理2.10(柯西收敛准则) 收敛的充分必要条件是对当时，有. [证明略] 举3～5个例子来运用柯西收敛准则. 注：本节计划2学时.