《正切函数的性质和图象》教学案例.docVIP

《正切函数的性质和图象》学案教学课堂实录 乌鲁木齐市第八中学 朱文义 教学过程设计： 一 创设情境，提出课题 教师：①我们是通过什么途径来探究指数、对数函数和正、余弦函数的性质的？都研究了它们的那些性质？明确研究函数的一般方法：图象法. 教师：②我们是如何利用几何法得出正弦函数图象？ 教师：利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象. 教师：③请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数性质的方案. 学生：第一步：探究正切函数的性质. 第二步：探究正切函数的图象. 二 任务驱动，操作探究 知识探究（一）：正切函数的性质 教师引导学生针对学案上的问题，开展对正切函数的探究 1.定义域： ． (学生回答) 2. 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x与tanx关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3.周期性 教师：看学案上第三个问题，根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？ 学生：∴正切函数是周期函数. 教师：能否说明是最小正周期？ 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？(给上学生一定的时间) 教师：应用反证法 假设存在是的周期，则 都有．取，则． ． ，这与矛盾． 从而，是正切函数的最小正周期． 做学案上的练习题：函数的周期T= ,一般地,函数的周期T= 学生：； 4.奇偶性 教师：下面请同学们思考学案上第四个问题，根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？ 学生：由诱导公式 得正切函数是奇函数 5.单调性 教师：观察右图中的正切线,当角x在内增加时,正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质? 学生：正切线从无穷大到0，在到无穷大.在根据方向可知，正切函数值从负无穷大变化到正无穷大，所以正切函数是个增函数. 教师：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？ 学生：正切函数在开区间内都是增函数. 教师：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？ 有学生认为是个增函数． 教师：请同学思考，是否正确？如何说明？ 学生：因为是周期函数，所以不是单调函数. 教师：请同学继续思考，周期函数不是单调函数的原因． 学生：不知道. 教师：反例：．这与单调性的定义矛盾. 对每一个，在开区间内，函数单调递增． (可以先作图，通过图观察得到结论，然后证明) 学生：不能说正切函数在整个定义域内是增函数，也不可能出现减区间. 教师：当x大于且无限接近时，正切值如何变化？当x小于且无限接近时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么? 学生：当x大于且无限接近时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸，tanx的值趋向-∞；当x小于且无限接近时正切线AT向y轴的正方向无限延伸，tanx的值趋向+∞；tanx在内可以取任意实数，但没有最大值、最小值. 三 合作交流，归纳发现 知识探究（二）：正切函数的图象 教师: 请同学们看学案，根据正切函数的周期性，我们可以先画出一个合适的、长度为的区间上的图像，选择哪一个呢？就直接在学案上面画出来，我来检查。(教师巡视对不会画的学生单个讲解) 学生：选择区间 教师：类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数的图象，具体应如何操作？ (给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样，不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣) 学生： 教师：请同学们结合正切函数的周期性, 在学案上面画出正切函数在整个定义域内的图象？ 学生： 教师：正切函数的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 学生：无对称轴，对称中心为： 四 应用巩固，深化提高 例1.比较与的大小. 反馈训练 比较下列各式的大小. (1) 与 (2) 与 例2.求函数的定义域、周期、单调区间. 反馈训练 求函数的单增区间. 五 总结思考，提高能力 （一）小结： 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． (1)理解了正切函数的定义； 理解了正切函数的图像特征； 掌握了正切函数的基本性质． (2)运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想． (3)体验了成功的快乐． （二）课堂练习： 1.函数的最小正周期是( ) A. B. C. D. 2.下列函数中，在上单调递增，且以为周期的偶函数是( ) A. B. C.