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《正弦函数和余弦函数的性质》 海南华侨中?? 王芳文 一、相关背景介绍 《正弦函数和余弦函数的性质》选自高中课程标准实验教科书《数学》（必修）（）本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体函数性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会函数的意义和基本性质。1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数 的值域。 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯。 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦。 三、教学重点，难点 教学重点：。 难点：的函数的值域。 四、学情分析 知识结构：学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。心理特征：。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 复习正弦函数、余弦函数的图象的作法，为引出正弦函数、余弦函数的性质做准备，同时激发学生学习新知的兴趣和欲望。 （二）探索研究 给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题： 1.定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或). 2.值域 (1)值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以, 即，也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是. (2)最值 正弦函数 ①当且仅当时,取得最大值 ②当且仅当时,取得最小值 余弦函数 ①当且仅当时,取得最大值 ②当且仅当时,取得最小值 3.周期性 由知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时, 都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期. 由此可知,都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是. 4.奇偶性 由 可知:()为奇函数,其图象关于原点对称 ()为偶函数,其图象关于轴对称 5.对称性 正弦函数的对称中心是, 对称轴是直线; 余弦函数的对称中心是, 对称轴是直线 (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点). 6.单调性 从的图象上可看出: 当时,曲线逐渐上升,的值由增大到 当时,曲线逐渐下降,的值由减小到 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 三、例题分析 例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间． 解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性． 解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]． 由 ≤2x+≤得 ≤x≤ 故函数y=sinz的单调增区间为 [， ]（ｋ∈Ｚ） 点评：“整体思想”解题 变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间 解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，] 故函数sin(-2x+)的单调增区间为[ ， ]（ｋ∈Ｚ）． 例2：判断函数的奇偶性 解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断． 解：∵=， ∴ 所以函数为偶函数． 点评：判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤． 变式训练2. ) 解：函数的定义域为R， = === 所以函数）为奇函数． 例比较∵y=sinx在[，]（k∈Z），上是单调减函数， 又 ∴ sin2500sin2600 点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单 调区间，运用单调性即可，若比较复杂， 先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较． 变式训练3. cos 解：cos 由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。 四、反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 课堂小结： 1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题 2、数学思想方法：数形结合、整体思想。 达标检测： 一、选择题 1.函数的奇偶数性为（　　　）. A.　奇函数　　　　　　　　　B.　偶函数 C．既奇又偶函数　　　　　　　 D.