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一个典型图形的背景、性质及应用 张海强 （江苏省宜兴市汇文中学 214206） 《新课程标准》将“发展学生的数学应用意识”作为高中数学课程的基本理念之一，笔者在习题教学中就如何发展学生的数学应用意识作了一些探索与尝试，本文提供一个实例，介绍一个典型图形的背景、性质及应用. 一、图形展示 如右图，矩形，. 二、背景溯源 生活中的报纸、书本、复印纸等大多是一个矩形，它们的长和宽的比差不多等于，即的近似值.为什么要这样设计呢？ 通常的书，是所谓的32开本，也就是把一整张对开5次得到的尺寸.整张纸的长宽比要设计得合理，才能使对开、4开、8开、16开、32开得到的纸张形状大体相似。比如，整张纸如果是正方形，那么16开的书变成了方方的，而32开的书却的长长的。这样就不整齐，显得别扭.怎样使一张纸对开后的形状和原来的形状相似呢？ 设纸的长与宽分别为和，想要对开之后和原来的形状相似，要有，即：. 当然，通常整张纸的长宽比是，或，都略小于.这是因为还要考虑别的因素，比如装订好的书还要把边切齐等. 三、性质探究 这一图形有什么特殊的性质呢？ 如图：矩形，，为的中点， 求证：. 证明：在中，， 在中，.. ，， （也可利用相似三角形加以证明：即△∽△） 四、灵活运用 例1、（2001年全国）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ） A．105° B．90° C．60° D．75° 分析：本题可以通过常规方法求解，但过程较繁. 考察矩形，BC＝BB1，取BC的中点E， .在正三棱柱ABC—A1B1C1中，， ，. 评注：识别典型图形，补全典型图形，使解题过程干净利落、简洁流畅. 例2、（2004年全国）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM. 分析：易证；在△中再找哪条直线与垂直呢？ 考察矩形，＝，，M为的中点，立马连接以构成“典型图形”， 立得. 面，面面，.至此大功告成. 评注：对空间图形的处理能力是空间想像能力深化的标志.本解法以“典型图形”为依托展开思考，使辅助线（）的添加变得合情合理、天经地义，同时将矩形从复杂图形中“析”出来，有效地实现了复杂图形简单化. 参考文献： 张景中著.中国少年儿童出版社.《从谈起——张景中院士献给中学生的礼物》.