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一类特殊的线性微分方程组的求解 摘要：由于数学的学习以及生活中的一些实际问题都与方程组的求解有着密切的关系，微分方程的学习更为解决一些问题提供了便利条件。在微分方程组的求解过程中，针对一些特殊的方程组，结合矩阵的有关思想方法，进行求解，更好的解决一些数学实际问题，培养同学们的“综合运用”能力。 关键词：二维线性 三维线性 系数矩阵 1 引言 对于n维线性齐次微分方程组 （1） 或 其中 ,这里假设 ( 1，…, )是某一区间(a ,b)上的连续函数若,…, 是方程组(1)的个线性无关的特解,则(1)的通解为 ,,…,是任意常数) 2 主要结果 对于二维线性齐次微分方程组 （2） 或 其中 ，这里假设(=1，)是某一区间(a ,b)上的连续函数. 1 方程组()中,若， 若= 与 = 是方程组()的两个线性无关的特解,则方程组()有如下形式的特解 定理2 对于定理 1，若为上三角矩阵，即，则方程组有如下形式的两个线性无关的 , 对于三维线性齐次微分方程组 （3） 或 其中 ，这里假设(1，2，3) 是某一区间(a ,b)上的连续函数若, 是方程组(3)的个线性无关的特解则()的通解为，，是任意常数) 二维的结论是否可以推广到三维的情形？下面的定理将给出肯定的回答。 定理3 对于上述三维线性齐次微分方程组（3），若 ()则方程组有如下形式的三个线性无关的， ， 定理4 对于上述三维线性齐次方程组(3)，若 ()则方程组有如下形式的三个线性无关的， , 注：对于n维线性齐次微分方程组当它的系数矩阵为上三角（或下三角）矩阵时，利用同样的方法可以得到它的一组线性无关的特解，由于方法类似，不再累证。 3 定理的证明 3．1定理1，定理2的证明 当时，则方程组（2）变为： （4）是方程组（4）的一个特解，故有： = 即 （5） 由（5）的第一式可得 c e (这里c取1) （6） 把（6）代入（5）的第二式得 解上式得 所以 又由于是方程组（2）的一个特解，故 （7） 由(7)的第一式解得 c′e 若c′≠0 可解得 c′, 则(7)的解与(6)的解线性相关，与特解是线性无关矛盾， 故这里c′取0, 即0 把0代入(7)的第二式得 ce (这里c取1) 即 定理1证毕，类似可证定理2。 3．2定理3，定理4的证明 当（）时,则方程组（3）变为 （8） 由于是方程组（8）的一个特解，故有 = 即 （9） 由（9）的第一式可得 c e (这里c取1) 把代入（9）的第二式得 （10） 解（10）得 把, 代入（9）的第三式得 e 又是方程组（8）的一个特解，故 （11） 由(11) 的第一式可得 c′e 若c′≠0 则 k k