一致收敛函数列与函数项级数的性质.docVIP

§2一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目的与要求： 掌握一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。 教学重点，难点： 一致收敛函数列的连续性、可积性、可微性以及函数项级数的连续性、可积性、可微性等。 教学内容： 本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性、可积性、可微性. 定理13.8 设函数列在上一致收敛于，且对， ，则、均存在且相等，即 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 证明: 先证是收敛数列. 对任意, 由于一致收敛, 故有 当和任意正整数, 对一切有 (1) 从而 这样由柯西准则可知是收敛数列. 设 . 再证 . 由于一致收敛于及收敛于, 因此对任意, 存在正数 当时, 对一切有 和 同时成立. 特别取 有 和 又, 故存在, 当时, 从而, 当满足时, , 即. 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 中两个独立变量与, 在分别求极限时其求极限的顺序可以交换, 即 (2) 类似地, 若函数列在上一致收敛且(或)存在，则可推得 (或 ). 由定理13.8可得到以下定理. 定理13.9（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且对，在I上连续，则其极限函数在I上也连续. 证明: 设为上任意一点, 由于, 于是由定理13.8知亦存在, 且 因此在连续. 注：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 在区间I上不一致收敛. 例如：函数列的各项在上都是连续的, 但其极限函数 在时不连续，从而推得在上不一致收敛. 定理13.10（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 . (3) 证明: 设为函数列在上的极限函数. 由定理13.9, 在上连续, 从而 与在上都可积. 因为函数列在上一致收敛于, 故对任意, 存在正数 当时, 对一切, 都有 再根据定积分的性质, 当时有 这就证明了等式(3). 注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1 设函数 ，. 显然是上连续函数列, 且对任意, 又因此 在上一致收敛于0的充要条件是 由于 因此的充要条件是 这样当时, 虽然不一致收敛于, 但定理13.10的结论仍成立. 但当时, 不一致收敛于, 且 也不收敛于 定理13.11（可微性）设为定义在上的函数列，若为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 . (4) 证明: 设 . 我们要证明函数列在上收敛，且其极限函数的导数存在且等于. 由定理条件, 对任一, 总有 . 当时, 右边第一项极限为, 第二项极限为, 所以左边极限存在, 记为, 则有 , 其中. 由的连续性及微积分学基本定理推得 . 这就证明了等式(4). 注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛； 注2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序； 注3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如： 设函数列 ，. 在上都收敛于, 由于 , 所以导函数列在上不一致收敛, 但有 现在讨论定义在区间上函数项级数 (5) 的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出. 定理13.12（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数也在区间上连续。 注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即 。 定理13.13（逐项求积）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则 . 注：即在一致收敛的条件