一道习题的几个潜在性质云南省广南一中玉炳图课本中的许多习题都.docVIP

一道习题的几个潜在性质 云南省广南一中　玉炳图 课本中的许多习题都具有代表性、典型性和可塑性，研究这些习题，可以充分发挥课本的潜在功能，沟通知识间的联系，同时对促进学生钻研课本，提高解题能力及复习效益都有一定的积极作用． 例如现行高中课本《平面解析几何》（必修）Ｐ．１１０第１２题：如右图，从椭圆上一点Ｐ向x轴作垂线，恰好通过椭圆的一个焦点，这时椭圆的长轴端点Ａ与短轴端点Ｂ的连线平行于ＯＰ，求椭圆的离心率．（答案，解答题）． 该题题设主要有两个条件：①弦ＡＢ与半弦ＯＰ平行；②半弦ＯＰ的端点Ｐ在x轴上的射影为椭圆的焦点．现在适当改变问题的条件，挖掘其蕴含的性质． 若删去条件①，对条件②进行探索，则得 性质１　若过椭圆中心Ｏ的半弦端点Ｐ在x轴上的射影为椭圆的焦点，则为椭圆的离心率）． 证明：设，则ＯＰ的直线方程为y=tx，代入椭圆方程，得，解得． ∵点Ｐ在x轴上的射影为椭圆的焦点， ∴，解得， . 若删去条件②，对条件①进行探索，则得 性质２　Ａ、Ｂ分别是椭圆的长轴与短轴的端点，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＢ．则． 证明：的直线方程为，将它代入椭圆方程．解得，从而． 又∵． 当点Ａ不动时，改变弦ＡＢ的方向，则得 性质３　经过椭圆长轴端点Ａ的弦ＡＱ交y轴于R，过椭圆中心O的半弦OP∥AQ，则2． 证明：如右图，设OP的参数方程为（t为参数），将x、y代入椭圆方程整理，得 　　① 取长轴端点Ａ为（－a，０），则可设ＡＱ的参数方程为为参数）．　　② 将它代入椭圆方程并整理，得 ．　　　　　　③ 在②中，令x=0,得　　．　　　　④ 由①、③、④，得． 平移弦ＡＢ，使之过焦点，则得 性质４　ＭＮ是经过椭圆焦点Ｆ的弦，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＭＮ，则 证明：如右图，以Ｏ为极点，Ｏx为极轴，建立极坐标系，则椭圆方程为． 设∠xＯＰ＝，则. 以Ｆ为极点，Ｆx为极轴，建立极坐标系，则椭圆方程为． 这时， ．　　　　　　　　② 比较①与②，得 下面谈谈上述几个性质的应用． 例１　如右图，椭圆的弦Ｐ１Ｐ２过焦点Ｆ２，Ｐ１Ｐ２⊥ＯＦ２，且椭圆离心率，求∠Ｐ１ＯＰ２的大小． 解：∵Ｐ１Ｆ２⊥ＯＦ２，由性质１，得， ∵∠Ｐ１ＯＦ２ ∴∠Ｐ１ＯＦ２＝４５°，由对称性知∠Ｐ１ＯＰ２＝９０°． 例２　如右图，Ａ、Ｂ是椭圆的两个顶点，Ｃ是ＡＢ的中点，延长ＯＣ交椭圆于Ｍ，Ｆ为右焦点，，若ＭＦ⊥ＯＡ，求椭圆的方程． （１９９４年温州市高三适应性考试（文）第２７题） 解：设椭圆方程为，则点Ｃ的坐标为 （．∵ＭＦ⊥ＯＡ，由性质１，得解得（舍去）． 又，从而，所求椭圆方程为． 例３　已知直线过椭圆的长轴端点Ａ，且被椭圆截得的弦ＡＱ的长为，求椭圆方程． 解：设ＡＱ交y轴于点Ｒ，由题设易得点Ａ（－３，０）和Ｒ（０，）， 过椭圆中心Ｏ作半弦ＯＰ∥ＡＱ，的直线方程为，代入椭圆方程，解得． 由性质３，得，解得 ∴所求椭圆方程为． 例４　如右图，过椭圆的焦点Ｆ１作一直线交椭圆于Ｍ、Ｎ两点，设为何值时，等于椭圆的短轴长？（１９８３年全国高考理科题） 解：过椭圆中心Ｏ作半弦ＯＰ∥ＭＮ，则ＯＰ的直线方程为，代入椭圆方程，解得 从而． ．由性质４，得 又°或１５０°． —5—