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三次函数的三大性质 浙江奉化奉港中学 罗永高 315500 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质. 单调性 三次函数, (1) 若，则在上为增函数； (2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明 , △=， (1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (2) 当 即时，解方程，得 或 在和上为增函数. 在上为减函数. 由上易知以下结论: 三次函数, (1) 若，则在R上无极值； (2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值. 2 根的性质 三次函数 (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且. (3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且. (4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论： 三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(mx2) . 3 对称性 三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. ， 当时，取得最小值，显然图象关于对称. 证2 设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上, 由上又可得以下结论： 是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称. 证明 的图象关于对称，则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称，则图象关于点对称. 证明 图象关于直线对称，则， ， ， 图象关于点对称. 掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的. 1