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第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质 §1. 关于实数的基本定理 设在上定义，求证： (1) (2) 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界． 试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 求数列的上、下确界： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何? 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样?试举例说明． 若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 (为有限数)． 设在无界，求证：存在，对任给，函数在上无界． 设在上只有第一类间断点，定义 求证：任意的点只有有限多个． 设是上的凸函数，且有上界，求证：存在． 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 设在上连续且有界，对任意，在上只有有限个根或无根，求证：存在． 设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界． 求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列． §2. 闭区间上连续函数性质的证明 设在上连续，可微，又设 (1) (2) 如果，则有， 求证：的根只有有限多个． 设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证：必存在区间，满足条件： (1)或； (2) ，当． 设在上连续，且取值为整数，求证：常数． 设在连续，，，求证：存在，使，且． 设在上连续，并且最大值点是唯一的，又设，使，求证 试用一致连续的定义证明：若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续． 在连续，且，求证：存在，使． 设在上连续，且与存在．证明；在上一致连续． 若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数，使得 证明：在上一致连续． 设在上一致连续，，证明在上有界； 设在上可导，且，求证：在上不一致连续． 求证：在上一致连续． 若在区间 (有穷或无穷)中具有有界的导数，即，则在中一致连续． 第 2 页 共 3 页