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三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
1.三角函数的给值求值问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
(3)常见的配角技巧
〖例〗已知,求的值。
思路解析:比较题设中的角与待求式中的角,不难发现或将变化为,再由求解。
解答:方法一:∵,又。又又
方法二:
2、三角函数的给值求角问题
(1)通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数。若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好。
(2)解给值求角问题的一般步骤为:
①求角的某一个三角函数值;
②确定角的范围;
③根据角的范围写出所求的角。
〖例1〗如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A、B的横坐标分别为、
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求的α+2β值。
思路解析:由已知得cosα,cosβ求tanα,tanβ求tan(α+β) 求tan(α+2β) 求α+2β的范围求α+2β的值。
解答:由已知条件得:
〖例2〗
思路解析:
解答:
∴
注:已知三角函数值求角,一般分两步:
①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值;
②根据角的范围与三角函数值确定该角的值。
3、三角函数的综合应用
〖例〗已知α、β为锐角,向量
若,求角的值;
若,求tanα的值。
思路解析:(1)由,及的坐标,可求出关于α、β的三角函数值,进而求出角;
(2)由可求出关于α、β的三角恒等式,利用方程的思想解决问题。
解答:(1)∵
…………………………………………………①
…………………………………………②
由①得,由②得
由α、β为锐角,∴β=。从而=
注:(1)已知三角函数值求角,一定要注意角的范围;
(2)求解三角函数有关的问题,有时构造等式,用方程的思想解决更简单、实用。
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