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三角变换的若干策略 安徽　明师 　　1、角的变换策略 　　 三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，这时可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常用的角的变换有：==-=，，=，等。 　　例1：化简：观察本题特点，从整体上考虑要达到化简的目的，将 变换为是关键一步，此步完成了，解此题就变为通途了。 　　2、“同名函数”变换策略 　　三角变形中，常常需要变不同名函数为同名函数。通常是化切、割为弦，变异名为同名。 　　例2：求证： 　　分析：左右两边三角函数名称不同，利用“切、割化弦”，统一函数种类。 　　证明：左边=== 　　===右边。 　　3．“1”的变换策略 　　在三角变换中，“1”的变换有：1= =，等等。在具体变换中，要根据题目的不同特征选择不同的变换方式。 　　例3：已知： ，求的值。 　　解：由已知得，， 　　 = 　　= ===。 　　点评：这里把分母中的“1”用“”代替，分子中的“2”写成“2×1”后，再代换。 　　4．幂的变换策略 　　降幂是三角变换常用的方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理。常用的降幂公式有：，，当然有时需要升幂，如对 的化简就要用升幂。 　　例4：求函数的最小正周期及最大值和最小值。 　　解：= 　　= 　　= 　　所以，函数的最小正周期是，最大值是，最小值是。 　　5．公式变换策略 　　熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形用，可开拓解题思路，达到化难为易的目的。 如由公式，可变为，；由 可变为；由可得 等等。 　　例5：在ABC中，已知A，B，C成等差数列，求的值。 　　解： A，B，C成等差数列 　　又，A+B+C=180 　　A+C=120 　　= 　　= 　　==。 　　点评：若三角函数式中，同时出现与，常可用。 　　6．结构变换策略 　　在三角变换中，有时需要对条件或结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或乘除互换，分解因式，配方等等。 　　例6：求证： 　　证明：变换命题，改证： 　　2 　　上式左边= 　　= 　　==右边 　　原命题成立。 　　7．引入辅助角策略 　　形如的形式可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。 　　例7：已知函数的图象关于直线对称，试求的值。 　　解： 　　= 　　= 　　其中。 　　由于余弦函数的对称轴为，所以，即， 　　那么，，得，即是，， 　　所以，。 　　练一练 　　1、求：的值求的值化简：解：原式 　　2、解：原式小结：式中“1”为了解题的需要将其变为 　　3、解：原式 1