三角形定比分边的性质及其推广.docVIP

三角形定比分边的性质及其推广 ——　一道高考题的探究 江西省赣县教师进修学校（341100) 马跃进 （mayuejin60@163.com） 2007年高考江西理科第15题:如图1，在△ABC中, 点O是BC的中点,过点O的直线分别交AB、AC于不同两点M、N,若,,则m＋n的值为 . 本文先探究其一般性结论. 定理 如图2，在△ABC中, O是边BC上的点,且,过点O的直线分别交AB、AC于不同两点M、N,则. 下面用向量法给出它的一个证明. 记,则 . 所以, , . 因为,共线,所以存在实数t, 使得. 即 , 从而有 (1) 、(2)消去t得. 即 . 为便于记忆,上述定理称为三角形定比分边的性质.由它可以得到以下推论: 推论1 在△ABC中, O是BC上距点B最近的一个n () 等份点, 过点O的直线分别交AB、AC于不同两点M、N,则. 证明 根据题意可知 , 由定比分边的性质得, 即 . 事实上, 上面这道高考题是推论1中n=2的特殊情形. 推论2 已知△ABC中, O是BC上距点B最近的一个n () 等份点, 过点O的直线分别交AB、AC于不同两点M、N,则(当且仅当n＝2时,取等号). 先证“”, 由,得, , 由推论1 , 所以 ; 再证“”, 如图3,取BC的中点P,连结MP交AC于点Q,则 , 所以, 由推论1得 . 故 . 综上可得 . 推论3如图4,在△ABC中,直线与AB、BC、CA交于不同三点M、N、P,则(塞瓦定理). 证明 设, 由定比分边的性质得 即 , 也即 , 故. 推论4 如图5, ,已知O是△ABC的重心,过点O的直线分别交AB、AC的两边于不同两点M、N,则. 证明 连结BO交AC于一点D,则,. 由定比分边的性质得 , 即 , 也即 , 所以 . 为此,可以在三维空间中编制一道高考仿真题: 如图6,在三棱锥A—BCD中, 点O是△BCD的重心, 过点O的平面分别交AB、AC、AD于不同三点M、N、P,若,,.求m＋n＋p的值. 解 设 ,, 由推论4 则 , 由定比分边的性质得 同理 上述两式相加得 故 m＋n＋p＝3. 若把定比分边的性质拓展到空间,还可以得如下推论. 推论5 如图7, 在三棱锥A— BCD中,已知△O1O2O3是平行于平面ABC的截面,且,P是棱AD上异于O1的点,平面PO2O3分别截AB、AC于不同两点M、N,则. 证明 因为平面O1O2O3∥平面ABC, 且, 所以. 由定比分边的性质得 , 同理可得 , 所以 . 本文发表在《中学数学研究》（南昌）2010年第4期（教师版） - 1 -