三角形的一些性质在：四面体中的推广.docVIP

四面体中与三角形类似的性质 江阴：214415 江阴市祝塘中学 黄燕玉 职称：中学二级 联系电话摘要：三角形和四面体有着很多的类似性质,本文指出了是四面体中类似于三角形的一些等量关系，并论证了四面体中类似于三角形中线的两个不等式. 关键词：三角形，四面体，中线，重心 三角形是几何中一个非常基本的图形，它是多边形的一个特例；而四面体是立体几何中一个非常基本的图形，它是多面体的一个特例.三角形和四面体有着很多类似的性质.下面略举数例说明. 1、三角形的三条中线交于一点，此点为三角形的重心，且重心分中线成2:1的比. 四面体中连结四面体的每个顶点及其对面重心的4中线共点，且被该点分成3:1的比，这点为四面体的重心. 2、在三角形中，三角形的内切圆半径，其中,为三角形的面积. 在四面体中，四面体的内切球半径，其中（=1，2，3，4）为四面体各面的面积，为四面体的体积. 3、在△中, 、分别是、上的任一点，则，其中为△的面积，为△的面积. 在四面体中， 、、分别是、、上的任一点，则，其中为四面体的体积，为四面体的体积. 以上例举的是一般三角形及四面体中的一些等量关系，而有些等量关系对于特殊的三角形、四面体才成立.例如在正三角形、正四面体中有： 正三角形的三边相等，三角相等. 正四面体的各棱相等，各面角、二面角相等. 正三角形内切圆、外接圆同心，且 正四面体内切球、外接球同心，且 正三角形中连接三边中点，得正三角形，其边长为原边长的. 正四面体中连接各面中心，得正四面体，其棱长为原棱长的. 以上指出的是四面体中类似于三角形的一些等量关系.下面给出四面体中类似于三角形中线的两个不等式. 引理：三角形的一中线的2倍小于夹此中线的两边之和. 已知：△中，为边上的中点. 求证：2. 证： 延长至，使， 连结. ∴. 则∵， ∠=∠, , ∴△≌△, ∴. 又∵在三角形中两边之和大于第三边. ∴在△中， , 即. 定理1：四面体的一中线小于夹此中线的三条棱长和的1/3. 已知：四面体中，为△的重心. 求证：. 证：连结并延长交于，连结. 在△中，作∥交的延长线于. ∵G是△ABC的重心， ∴. ∵∥ , ∴. ∴，. 在△中，， 即. ∵为△的重心， ∴为的中点. 在△中， , 即. ∴, ∴. 定理2：四面体四中线之和大于六棱和的，小于六棱和的. 已知：四面体中，、、、分别是面、、、的重心. 求证： . 证：∵、、、分别是面、、、的重心, ∴、、、交于一点，记为, 且，，，. 在△中，, 在△中，, 在△中，, 在△中，, 在△中，, 在△中，, ∴, 即, ∴. 由定理1可知：, , , , ∴. ∴命题得证. 参考文献： [1] 苗国，四面体的五“心”，数学通报，1993年第9期 [2] 单墫,几何不等式在中国,江苏教育出版社,1996:167-170 [3] 沈永欢等，实用数学手册，科学出版社，1992：20 [4] 朱学炎等，常用数学公式图形与用表，上海科技出版社，1989：53、63