不确定原理的理解与运用.docVIP

不确定原理的理解与运用 罗勇来 王亚栋王军 （浙江师范大学数理与信息工程学院 物理专业） 【摘要】：不确定关系自被发现开始在物理学尤其是量子力学中起着很重要的地位。本文通过论述不确定关系的起源，表达形式，物理意义，以及与其他学科的联系，得出了对不确定关系的理解。并通过对投针问题的几何概率研究，深入阐释不确定原理。 【关键词】不确定关系 量子力学 几何概率 投针问题 【引言】 每当我们试用经典力学和经典电动力学阐释原子现象时，总会得出与实验有明显矛盾的结论。理论与实验之间的如此深刻的矛盾，表明有必要建立一种适合于原子现象的理论，需要根本改变基本的物理概念和定律。因此有了海森堡不确定关系的确立，引发了人们广泛而浓厚的兴趣，不确定关系不但是一个必然的数学推论，也是一个相当深奥难解的问题。 不确定原理是由于微观粒子既具有粒子性，又具有波动性。本文目的在于从量子力学的角度具体的认识和分析不确定关系的相关内容，从而了解不确定关系对量子力学的重大贡献。而Buffon投针是一个十分有趣的问题，而他最根源的思想就是不确定关系的理解。 【正文】 不确定关系的起源 统辖原子现象的力学——量子力学或波动力学——必须建立在与经典力学根本不同的运动观念的基础之上。量子力学中并不存在粒子轨道之类的概念，这就构成了海森堡在1927年提出的不确定原理的主要内容。它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中一个极为重要的关系式。在海森堡试验之后，通过实验现象得出结论：人们只能观察到一系列电子的不确定位置，而不是电子的准确轨迹。于是这种经典理解是要受到普遍而确切的限制，这就是不确定关系。 经典力学中，物体位置、动量以及粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此 可用轨道来描述粒子的运动。但微观粒子，具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量，而只能说出其可能性或者几率。 海森堡根据一些假想实验的分析，指出其中不确定性的物理来源，都是他所分析的客观上的扰动的不可知性，并得出关系式。后来玻恩按照波函数的统计解释给出严格证明，使其表述更为确切，从而和状态叠加原理一起，成为量子力学的两个基本原理。后来，汤姆逊的电子单缝衍射实验很好的验证了不确定关系。 不确定关系的内容表述 不确定原理意味着在量子世界里，即使实验测量过程设计的非常精巧，也不能保证测量 过程本身不产生扰动。光的能量以小块的方式过去，测量过程本身将不可避免地给要测量的 物体造成一个显著地扰动。对于微观世界物体来说，这样的扰动是无法忽略的。这就是海森 堡不确定原理的本质。 在所有的量子力学教科书中都显示，在“坐标表象”中对应于坐标算符具有本征值，这些本征值是量子客体的坐标，所以算符等同于经典坐标；而动量算符被导数算符所定义，它是的导数。所以和这两个算符不对易，它们没有共同的本征函数。在量子力学中，我们可以使用各种表象。除了坐标表象外，还有动量表象，在动量表象中，动量算符就是，坐标由导数算符表示。无论是什么表象，这两个算符都不对易。算符和不对易这一事实意味，我们不能确定坐标和动量均有明确的量子客体状态。也就是我们能够测量某个给定粒子的动量或坐标，但我们不能说这个粒子的动量和坐标两者均有确定值。确定关系式为： （1） 表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，表示在x方向上动量的不确定范围，它们的乘积不得小于一个常数。 不确定关系的验证 位置矩阵与动量矩阵的对易算符永远不等于零，而是等于常数乘以单位矩阵，得。这意味着,与无法共同拥有同样的本征态，否则无法同时被对角化。所以，一个量子态绝对无法同时给予与明确的本征值与；否则,即 给予任意量子态，位置和动量的期望值和 ， 由于位置和动量是可观察量，和都是实数。当两个矩阵分别做单位矩阵的不同实数倍数的移位，新得的两个矩阵的对易算符不变。 设定和分别为位置和动量与其期望值的偏差： , 那么，它们的对易算符的期望值是： 使用类似前面方法，设定, 那么，根据柯西-施瓦茨不等式 由， 得 一个复数的绝对值必定大于其虚数部分的绝对值： 而虚数部分 这样，可以得到位置和动量的不确定关系式： 下面仅以单缝衍射为例作简单说明： 　　 电子通过小孔的实验表明：小孔线度愈小，电子坐标的测量愈精确；但由于衍射效应的增强，电子动量的测量却变得愈不精确，即实验结果与不确定关系的预言相一致。 　　 设狭缝的宽度为b，一级最小衍射角为，电子经过缝时的位置不确定，一级最小衍射角，电子经过缝后 x 方向动量不确定，，，，考虑衍射次级有。 微观粒子具有波粒二象性，一个由存在于无限空间的平面波描写的粒子，显然其动量完全确定，而坐标则完全不确定。而由集中在有限空间区域的波包所描写的粒子，其坐