专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨.docVIP

专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac 0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac 0。 因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。 根的判别式b2－4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况： 例1：（2012广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【 】 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【 】 A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根 D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根 二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围： 例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】 A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0 例：（2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】 A. B. C. D. 例：（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ▲ 。 例4：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。 三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用： 例1：（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　。 例2：（2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。 四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数： 例1：（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16 例2：（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　 　。 例3：（2012湖北荆州3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为　 　。 五. 判断双曲线与直线的公共点个数： 例1：（2012江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【 】 A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 例2：（2012广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】 A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 例3：（2012四川资阳8分）已知：一次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。 （1）求该反比例函数的解析式； （2）将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标； （3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式： ①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；