专题6解析几何——曲线与方程的双向研究及探索与证明.docVIP

专题6 解析几何——曲线与方程的双向研究及探索与证明 一. 本周教学内容： 专题6 解析几何——曲线与方程的双向研究及探索与证明 ? 二. 考点提要： 1. 求曲线方程主要有两种类型：一是曲线形状已知，求曲线方程；二是曲线形状未知，求曲线（轨迹）方程。 2. 在解析几何综合问题中，主要有位置问题（涉及到交点判断、弦长、面积、对称共线等）；范围问题（运用到函数的值域、最值、二次方程实根的分布）；最值问题（设变量，建立目标函数，求最值）。 ? 三. 知识串讲： 1. 求曲线方程 将曲线看成适合某几何条件的点的集合——动点轨迹。 （1）直接法：步骤 ①建立适当的直角坐标系，设动点M（x，y） ④化简方程 ⑤证明（略），注意对特殊情况的讨论。 （2）转移法（相关点法） （3）参数法 ? 2. 由方程画曲线 （1）讨论范围 （2）讨论对称性 （3）分别令x＝0，y＝0得纵、横截距 （4）列表、描点、连线 ? 3. 求曲线的交点 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解。 方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点。 ? 4. 直线与圆锥曲线 （1）弦长公式： （2）中点弦：设弦AB中点M（x0，y0），则 当M（x0，y0）在曲线C内部时，可由“代点法”表达直线的斜率k与中点M的坐标的关系。 （3）对称点 设二次曲线C上总有关于直线l的对称点A、B （4）点与圆锥曲线 ? 5. 圆锥曲线 （1）知识结构 ? ? （2）圆锥曲线的统一定义 圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线可以看作用平面以不同方法截圆锥面所得到的截线，它们的统一定义：平面内到定点F和定直线l距离之比等于常数e（离心率）的轨迹。（F为焦点，l为准线） 在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是关于x、y的二元二次方程，所以也称它们为二次曲线。 ? 【典型例题】 （一）求定性曲线的标准方程 例1. 点F1，A、B分别是椭圆长，短轴的长短轴的端点，AB∥OM，设Q是椭圆上一点， 椭圆的方程。 解： 说明：运用方程思想求圆锥曲线的基本量是解析几何中最基本也是最重要的思想方法，务必熟练掌握。 ? 例2. 解： ? （二）求动点的轨迹方程 例3. 原点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，则P点轨迹为___________。 解析： 又AB中点与PO中点重合 当k不存在时也成立。 ? 例4. 设点A、B为抛物线y2＝4x上除原点以外的两个动点，OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹。 解： 而当k＝±1时，点M的坐标为（4，0），也满足方程3。 点评：本题运用“参数法”求动点轨迹方程，值得注意的是，在得到动点的横纵坐标与参数满足的两个等式后，并不需要解出动点轨迹的参数方程，而是根据具体情况直接由两个方程消去参数。（本题采用了将两个方程相乘消参数的方法）得到动点轨迹的普通方程。 ? 例5. 过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求： （1）点Q的轨迹方程； （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数。 解： 将以两个方程两端相减，得： 标满足方程2 因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线上，所以曲线1在椭圆内 当a＝b＝0时，点P（a，b）为原点，此时（a，0），（0，b）与（0，0）重合，曲线1与x轴只有一个交点（0，0）。 此时点（a，0）与（0，0）重合，曲线1与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）； 同理，当b＝0且0＜|a|≤1，即点P（a，b）在椭圆内的x轴上且去掉原点，此时曲线与坐标轴有两个交点（a，0），（0，0） 上时，曲线1与坐标轴有三个交点（a，0），（b，0）与（0，0）。 ? （三）解析几何中的探索与证明 例6. 线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点。 （1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程； （2）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上，并说明理由。 解： 代入椭圆方程，整理得：