两角和与差的三角函数解斜三角形三角变换中的最值问题.docVIP

两角和与差的三角函数 解斜三角形 三角变换中的最值问题 教学目标 1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决典型的三角函数式的最值问题． 2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的三角公式求解函数最值． 3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想． 教学重点与难点 重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决问题． 难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列出较易求最值的目标函数． 教学过程设计 师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些基本求解方法． 生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数法、分离变量法、方程法、换元法等． 师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题． 例1? 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值． 分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求其最值． 生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解． 因为cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0． 师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与三角变换间的沟通．下面我们看例2． 例2? 求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值． 生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高． 解 y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx） 师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很好．但若把题目改为y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，这样能否可行？对例2有没有更具有普遍意义的做法？ 生：观察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联 函数求解．于是得到例2的又一解法． 解 师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学在换元时注意到了等价性，即求出了t的取值范围．下面我们看例3． 例3? 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域． 分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到x2+y2=1这一制约条件，联想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．进行三角换元，利用三角公式求最值． 解? 令x=cosα，y=sinα．则 所以u∈[-5，5]． 下面我们做三个练习： 练习1? 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域． （分别请三位同学板演．） 解1? 令x=2cosα，y=2sinα，则 所以μ∈[-10，10]． 师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最值．一般来说，利用三角换元求解y=f（x）的最值问题的步骤为：1°求函数y=f（x）的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给出一个能够保证其值域充满给定函数y=f（x）的定义域的新变量的最小取值范围，如练习2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后给出α∈ 取值范围；3°利用三角公式求函数的最值． 利用换元法求最值不仅限于把变量x换为sinα或cosα，还可以换元为tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式 函数转化为代数式求解，在求解最值问题时要恰当选取代数与三角两种工具，并能互相转化． 以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题． 例4? 欲在半圆形铁皮（如图1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半径为R） 分析：矩形ABCD的面积取决于CD的位置，而CD∥AB，故C点位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与C点，则∠COB的大小便确定了C点的位置，故引入∠COB作为变量写出目标函数． 解 S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α， 利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用三角变换公式求最值． 若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习． 练习4? 在半径为R，中心角为α的扇形铁皮中（如图2