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从数列周期性引发的一些思考 上海市顾村中学 张耀 函数的性质在数列中的应用是一个很普通的问题，很多同志在这一方面做过研究，但对于数列的周期性探讨的较少，因为数列作为函数，它的定义域是有界且不关于原点对称，严格地讲从周期函数的定义来看数列不具有周期性。我们能否认为数列有周期，这是敢不敢向权威挑战的问题。有没有反驳思想和批判思想。反驳也是一种数学创造，是促进数学思维发展的强大动力。思维的批判性是指思想活动中独立分析和批判的程度，表现为对自己或别人的思维成果以及自己提出的新的假设善于进行严格精细的检查，提出疑问，自觉评价解题过程，分清真伪，排除障碍，找出正确答案，并不断总结经验教训，以提高思维活动中独立辨析的水平和思维活动的效率。鼓励学生进行数学反驳和有意识进行思维批判性的培养是数学教学的重要任务。 应用周期性求数列的通项公式 求数列的通项公式是教学的重点和难点，学生面临的困难是找不出数列的规律，难于发现项与项数之间的关系，其实就是自变量n与函数an的关系。如果引入函数的思想用函数的方法去解决相对来说容易。 例如：求出下列数列的一个可能的通项公式： 1,0,-1,0,1,0,-1,0,…﹔ (2) a,b,a,b,a,b,…; 解：(1)从数列的前八项看每隔四项重复出现一次，因此我们可以认为数列的周期是T=4,自然会联想起三角函数，振幅为A=1,所以设y=sinωx 因为周期T=4， 得：4=，ω= 所以可能的通项公式为：,an=sin(n∈N+) (2)本题的通项公式有多种； ① =(n∈N+)； ② 认为是分段函数 a n∈2k+1 k∈N+ b n∈2k k∈N+ ③从数列的前六项看每隔两项重复出现一次，因此我们可以认为数列的周期是T=2,自然会联想起三角函数。 an= (n∈N+) 用周期性求数列中的某些项 在数列中求某些项的值，也就是相当于求一些函数值。说起来很简单，但如果遇到通项公式没有给出或是通项较难求题目时，做起来也就不那么容易了。上海中学数学杂志2000年的第1期的问题与提出中就有这样的一个问题，题与答案如下： 已知实数列{an}满足a0=a,a为实数,(n∈N)求。 原来的解法： , ∴ … 于是对于任意正整数k有 (r=0,1,2,3,4,5,) 2000=6×333+2 ∴ 上述所给出的答案计算量明显较大，感觉机械操作过程颇多，主要是因为没有充分利用函数的思想和方法来解决问题。看如下有两种方法： ㈠ 如果将上面的替换为，替换为得到： = 同理得： 所以得到： 用函数的思想认识时，很显然数列{an}的周期T==6。 ∵ 2000=6×333+2 ∴ ㈡ 其实把递推关系(n∈N)变形 令= 则=原递推关系为=此式与十分相似，因此可把它认为是原递推关系的原型 ==，，所以我们很快可以判断出数列的周期是6，只要再证明（由=与 得）因此得数列的周期是6。 = 。 这样利用函数的方法来解决问题，找到了这个数列最重要的性质即周期性，大大减小了运算量减化了过程，但增加了思维活动，体现基本的数学思想和方法。 三、应用数列的周期性求和 数列中求和是学生难于把握也是及容易发生问题，主要的症结仍然是 找不出数列的规律，看不到实质的东西。尤其是遇到那些陌生的数列，或是不可以用常用求和方法（如：“公式法”、“转化法”、“错位相减”、“裂项法”、“差分法”以及“待定系数法”等）解决的数列，学生心里没底十分发怵，不能静下心来认真地研究数列的内在的规律，这样就不会找到解决问题的突破口。 例如：已知数列{},=1,=2,(n∈N+且n≥3)。⑴求,的值，⑵求的值。 解：⑴ 由已知的递推关系得：= - = 2-1=1, = - =1-2=-1, = - =-1-1=-2. ⑵ 由递推关系可能会联想起斐波那契数列，虽然形式十分相似，但有本质的区别。斐波那契数列(n=0,1,2,…)是一个递增的数列，而这个数列是周期数列。 = (-) -=- 得：=- 同理得： =- 所以 = 因此认为数列的周期T=6 = - =-2-(-1)=-1 方法一：