以一节《方程的根与函数的零点》课堂教学为例.docVIP

基于几何画板的数学教学讲与不讲的探究 ——以一节《方程的根与函数的零点》课堂教学为例 潘颖艺 摘要：以一节《方程的根与函数的零点》课堂教学为例，就基于几何画板的数学教学讲与不讲，从三个方面谈谈自己的一些体会。指出：基于几何画板的数学教学的“讲”，教师要学会一条规则：“永远要先开动学生的脑筋”[1]，需要做的是引领、点拨、评价；“不讲”即教师不越俎代庖，留给学生更多的时间和空间去“试试，再试试”[1]，独立思考、自主探究，真正实现了“讲是为了不讲”．　　 关键词：几何画板；课堂教学；讲与不讲；体验　 正文：数学教学中，上海静安区张人利校长在后“茶馆式”教学中指出：“讲”强调“精讲”，一般都认为讲重点、难点．更强调讲学生自己学不懂的；“不讲”更多的是指教师不代替学生的“学”，即学生对知识内容和知识产生过程的认识体验活动．《高中数学课程标准》也指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．”[2]几何画板软件提供了一个学生“做数学”的环境，学生重新触摸数学材料，体验数学经历，参与数学操作，享受数学喜悦． 下面以一节《方程的根与函数的零点》课堂教学为例，谈谈自己的一些体会． 一、创设问题情境，画图与笔算相结合，形成零点的概念，达成讲与不讲的统一 著名数学家哈尔莫斯说：“学生最好的学习方法是动手，提问，解决问题．最好的教学方法是让学生提问，解决问题，不要只传授知识，要鼓励行动．” 问题情境1 指导学生在几何画板窗口中输入己学过的函数解析式（如：正、反比例函数，一次、二次函数、指、对数函数，甚至如果愿意，也可改变原函数中的一些数值，等等），找出函数图像与x轴交点的坐标．动笔解相应方程的根，寻找交点的坐标与方程的根之间的关系．如图1所示 图1　创设问题情境，画图与笔算相结合，形成零点的概念，达成讲与不讲的统一 温故知新，教师的“讲”只是在学生思维最近发展区创设问题情境，学生通过动手操作，自主探究，形数结合，从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，自己发现并归纳出结论：方程的根就是相应的函数的图象与x轴的交点的横坐标．此时，教师抓住时机加以引导，并对零点概念的解读，学生主动建构得到函数零点的概念． 然而，学生还留下了疑问：二次函数在R上可能有0个、1个、2个零点，如何判断呢？教师引导学生从两个方面总结：函数的图象与x轴交点的情况；相应的方程的判别式与零的大小关系．拓展为一般函数零点的求法：解方程法或图像法，也进一步得到函数与方程之间的一个等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．在这里，学生通过人机对话，小组合作，师生互动，使学生对方程的求解与函数的变化形成联系，完善先前个人独立思考不周全的问题，消除个人独立探究中有困惑的问题，在直观感知知识的形成过程中，经抽象概括，并操作确认函数零点的求法过程． 进一步探究：反比例函数、指数函数也没有零点，那么任给一个函数，如何判定该函数的零点在给定区间上是否存在呢？承上启下，为零点存在性定理的引入作了一个铺垫． 二、画龙点睛，动态揭示定理的本质，促使讲与不讲的深化 波利亚在《怎样解题》中说：“严格表述的数学是一门系统的演绎科学，但在形成过程中的数学则是一门实验性的归纳科学．”[1] 问题情境2 观察二次函数的图象，我们发现函数在区间上有零点，计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否具有这种特点呢？ 问题情境3 探究一次函数的图象在区间内是否有零点？ 思路1：由求得，通过求得．学生运用函数与方程思想，并建立零点的不等关系求解，巩固和深化对零点概念的理解和应用． 你能以不同的方式推导这个结果吗？引导学生对该问题有进一步深入的探究，帮助学生突破原有思维障碍，引起新的认知冲突，起到教师“讲”的作用． 思路2：由求解．如图2所示 图2　画龙点睛，动态揭示定理的本质，促使讲与不讲的深化 事实上，一次函数的图象是过定点（0，2）的一条直线．学生在几何画板下，拖动直线，观察该直线与区间内的线段相交时，与符号变化情况，发现规律：与异号． 当学生对图象进行观察与概括的同时，也在直观意义上理解定理的要点：“连续不断”、“ f(a)·f(b)0”、“有零点”，再通过师生交流，生生合作，大胆猜想，获得零点存在性定理．在这里，教师的“讲”是通过设置一系列问题串，达成了教师的“不讲”的效果，更多的是学生做数学实验，在“做数学”中“学数学”和“用数学”，体会定理的“再发现、再创造”的过程． 然而，“并没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做．”[1]因此，我们要检验这个定理，试图找到一种“实验性证据”．此时，教师的“讲”就是引导学生关注到定理中关键词：“连续不断”、“ f(a)·f(b)0”、“有零点”，学