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例5：设A=x|1＜x＜3，集合B是关于x的不等式组的解集，试确定a，b的取值范围，使得AB。 【分析】由集合A=x|1＜x＜3，且AB，知不等式中，不等式（1）（2）的解集均包含区间（1，3）。记f（x）=x2－2x+a，g（x）=x2－2bx+5，则f（x）=0与g（x）=0的两根都在区间（1，3）之外。 即 解得a≤－3，且b≥3。 【评述】本题灵活运用了等价转化与数形结合思想。根据二次不等式的解集与二次方程根的关系，先将区间（1，3）是两个不等式解集的子集等价转化为两个方程f（x）=0与g（x）=0的两根都在区间（1，3）之外，再借助二次函数的图象，将根的分布情况等价转化为不等式组，实现了数到形再到数的转化。 其实，有的时候，分类讨论和等价转化是同时存在于一道题目中的。例如： 【例6】已知函数，且k＞0）。 （1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）在上单调递增，求k的取值范围。 【分析】（1）由＞0及k＞0得＞0 当0＜k＜1时，得x＜1或x＞， ∴x∈（－∞，1）∪（，+∞）； 当k=1时，得＞0， ∴ x≠1，且x∈R； 当k＞1，得x＜或x＞1，即x∈（－∞，）∪（1，+∞） 综上，所求函数的定义域为：当0＜k＜1时，x∈（－∞，1）∪（，+∞）；当k1时，x∈（－∞，）∪（1，+∞）。 （2）由f（x）在 上是增函数 ∴　＞0，得k＞。 又对任意的x1，x2x1＜x2，当10≤x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，即， 则，又， ∴ k－1＜0，即 k＜1 综上可知k的取值范围是。 【评述】第（1）小题，根据对数的真数大于0，将求函数的定义域转化为关于x的不等式的解集，为此要对字母系数k的分类讨论求解；第（2）小题，根据单调性的定义，函数f（x）在上单调递增等价于f（x）满足对任意的x1，x2x1＜x2，当10≤x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)恒成立。根据对数函数的单调性，进一步等价转化为 ＜＜0对10≤x1＜x2恒成立。 相关练习： 1、不等式|x+2|≥|x|的解集是 2、设f(x)=|lg x|，a、b满足f(a)=f(b)=2f，且0＜a＜b，求证：3＜b＜ 3、解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1＞0 （a∈R） 4、已知a＞0是a≠1，解不等式log a(4+3x－x2)－log a(2x－1)＞log a2 5、求函数 （k∈R）的最小值 6、解关于x的不等式 （a∈R） 相关练习答案： 1、平方法：由，故，所求解集是 {x|x≥－1} 另解：作函数y1=|x+2|，y2=|x|的图象（略） 观察可知解集 2、 ∵ f(a)=f(b) , ∴ |lga|=|lgb|， 又 0＜a＜b ∴lga=－lgb ， ∴ lgab=0， ab=1 则0＜a＜1＜b，又 ∴4b=（a+b）2 ∴4b－b2=a2+2ab＝a2+2 3、 当a=0时，不等式的解集为x|x＜1 当a≠0时， a＜0：x|＜x＜1 0＜a＜1：x|x＜1或x＞ a＝1：{x|x≠1，x∈R} a＞1：x|x＜或x＞1 4、略解：将不等式变为log a(4+3x－x2)＞log a2(2x－1)，作出y=－x2+3x+4及y=4x－2的图象，其中－x2+3x+4＞0，4x－2＞0，两图像的交点为（2，6），从图象可以看出，a＞1时应有＜x＜2；0＜a＜1时应有2＜x＜4（图略）。 5、原函数可变形为 考察等号成立条件：，显然对k作如下分类讨论。 （1）当k≥8时，， 即x2=k－8≥0时， （2）当k＜8时，下面给出两个方法： 解法一：“凑等号” 解法二：单调性，令 ∴ g(t1)＜g(t2) ∴ g(t)在上递增 ∴ ymin=[g(t)]min=g(2)=（此时x=0） 综上， 6、解：原不等式等价于 (x－1)2+1＜1+2ax [x－(a+1)]2＜a2+2a （1）当a2+2a≤0，即－2≤a≤0时，x∈； （2）当a2+2a＞0，即a＜－2或a＞0时， 【注意】这里的等价转化对简化运算起着重要的作用，特别指出的是不等式（3）解决了不等式（4）去分母需讨论的问题，不等式（6）解决了需要讨论求解不等式（5）的问题。 １