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例析数列不等式的证明方法 宋 波 （西北师范大学实验中学 甘肃 兰州 730070） 数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力这类交汇题充分体现了“以能力立意”的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则数列和不等式是历年高考的热点,由于它们具有知识上的综合性、题型上的新颖性、方法上的灵活性、思维方式上的抽象性等特点,学生往往感到解答有一定的难度其实,证明时结合问题的特点,从知识的整体性和综合性着眼,在知识网络的交汇点寻求联系,即可使问题得以解决是数列的前n项和，且 （1）求数列的首项，及通项； （2）设，证明。 解：（1）首项（过程略）。 （2）证明：将， 得， 则 点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的，整个证题过程简捷明了。 其次，在已经熟练掌握证明不等式的几种基本方法后，还要掌握证明数列不等式的一些常见方法。 （一）、利用放缩法放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法常用的放缩技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用基本不等式进行放缩 放缩法的理论依据主要有：1.不等式的传递性；2.等量加不等量为不等量；3.同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。注意：1.放缩的方向要一致。 2.放与缩要适度 2 已知函数，数列的首项，以后每项按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。求证：当时： （1）；（2）。 证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。 （2）因为函数 ， 所以，即，因此； 又因为。 令，且。所以 因此，，所以 点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。 （二）利用重要的公式和结论证明数列不等式。 我们学过很多重要的不等式，比如均值不等式，贝努利不等式，柯西不等式，假分数的一个性质：等，在证明时，我们要善于用这些不等式来证明。 （三）、利用数学归纳法证明数列不等式。 数学上证明与自然数有关的命题常用数学归纳法，在高中数学中常用来证明数列不等式。 （四）、构造单调数列证明不等式。 数列的单调性是数列的重要性质，而单调性恰好是不等关系的重要特征，利用数列单调性证明不等式是一种常用的方法。有些不等式分析可知它与数列有关，可，再利用数列的单调性来研究。下面试举一例予以说明。 例3 证明不等式对所有正 整数n成立。 分析： 是一个与n无关的量，将它与左右两端作差构造出相应的数列，在利用数列的单调性来研究。 证明：设，构造数列，令，则 ，所以，为递增数列，首相为最小值。 所以，即，又令， 则， 所以，为递减数列，首相为最大项， 所以，即。 综上所述，。 点评： 用构造单调数列证明不等式，若不等式的一边为和（积）式，则构造数列，使其通项等于和（积）式与另一端的差（商），然后通过比较法确定数列的单调性，利用数列的单调性即可使不等式获证。 （五）。 证明：令，且当时，，所以。要证明原不等式，只须证。 设，所以。 令，所以。 设，所以上为增函数。 所以，即 ， 所以。 同理可证。 所以。 对上式中的n分别取1，2，3，…，，得。 点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幂形式出现的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。