例谈数学探索型问题的求解策略.docVIP

例 谈 数 学 探 索 题 宁波市鄞州中学 朱达峰 邮编 315101 数学探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论，或从给定的问题要求中探究其相应的必备条件、解题途径等等。 数学探索题的鲜明特点式问题本身具有一定的开放性，其求解的过程中带有较强的探索性。 数学探索题分为条件探索型，结论探索型，规律探索型．它是考查能力的好题型，因而成为历年高考命题的热点内容。 例1 （条件探索型）已知，若函数在区间上的最大值为，最小值为，令。 （1）求的函数表达式； （2）判断函数在区间上的单调性，并求出的最小值 。 讲解：（1）∵的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为， ∴有最小值 ； 当时，，有最大值; 当时，有最大值 （2）设则 在上是减函数. 设 则 在上是增函数.∴当时，有最小值 点评：本题需要探索是该函数为单调函数的条件，属于条件探索型问题。 本题求解也可以用导数来解决。 例2（结论探索型）（１）设为动椭圆的中心，为过焦点的弦，M为的中点，连接并延长交椭圆于点。求证：四边形为平行四边形的充要条件是为定值且值为（其中为椭圆的半长轴）； （2）命题（1）的结论能推广到双曲线吗？为什么？ 讲解：（１）不妨设椭圆方程为，为右焦点，，弦的方程为 联立两方程与，得 ， 于是有，，由椭圆的第二定义，得，于是。 首先，若四边形为平行四边形，则点的坐标为 ，将其代入椭圆方程并化简得，由此可得． 其次，若，则，于是有 x0，，从而，，也就是点 在椭圆上，且平分，故为平行四边形。 （2）命题（1）的结论在双曲线中不成立，因四边形不可能为平行四边形． 点评：关于命题（1）的结论在双曲线中是否成立，这是需要探索的问题．当然，我们也可以考虑圆、抛物线中的情形．做做解题后的不断反复思考，是提升能力的一种好途径。 例3 （规律探索型）对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对正整数，规定为的阶差分数列，其中. （1）已知数列的通项公式，试判断是否为等差或等比数列，为什么？ （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式. （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由. 讲解：（1） ，∴是首项为4，公差为2的等差数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2），即，即， ，，，，， 猜想：。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：ⅰ）当时，； ⅱ）假设时，。 当时，结论也成立。 ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。　　　　　　　　　　　　　　　　 （3），即　， ，∴存在等差数列，，使得对一切自然数都成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 点评：关于阶差分数列是高等数学里的一个概念，所以，本题是一道难度比较大的选拔性的试题，它的解题方法在课内，而解题的智能却在课外！ 适合高三年级使用。联系电话邮箱：nbsinger749@