关于用二分法求方程的近似解的案例研究.doc

关于“用二分法求方程的近似解”的案例研究 罗 强 如果把《普通高中数学课程标准（实验稿）》既要从宏观的角度思考诸如、数学能力、数学等一些核心问题，需要从课程改革中原有内容要求和处理方式的变化新增内容的合理性和性作相应的思考数学科学学院案例研究的焦点焦点内容组织主要形式→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式． 《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式． 二、案例研究的实施过程 本案例的研究采用了顾泠沅先生提出的“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，“一个课例，两反思，三次设计”在个平行班级． 三、教学片段 片段1 提出问题 第一次设计： 1．能否求解方程lgx=3(x? 2．能否求出这个方程的近似解？ 3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？ 第二次设计： 1．能否求解下列方程：(1)lgx=3(x；(2)x2(2x(1=0；(3)x3(3x(1=0． 2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1） 第三次设计实录： 师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程． 请学生们思考下面的问题： 能否求解下列方程：（1）x2(2x(1=0；（2）lgx=3(x；（3）x3(3x(1=0．（三个方程逐个出示） 课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解． 师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1） 课堂反响：方程（2），由于画图象不精确，很难得出近似值是2.42.5还是2.6．对于方程（3）还是束手无策． 求方程x2(2x(1=0的一个正的近似解（精确到0.1）f(x)= x2(2x(1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内． 师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？ 生（思考片刻）：因为f(2)＜0，f(3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根． 师：×同学把方程的根与函数图象与x轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？ 课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点． 生：先找区间的中点，把区间一分为二． 师：为什么？ 生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f(2)＜0，f(2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内． 师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？ 课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程．f(a) f(b)＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解． 师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称． 生：对分法． 师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）． 片段3 变式探究（第三次教学实录） 师：能否用二分法求方程lgx=3(x的近似解（精确到0.1） 课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨． 生1：我先画了y=lgx和y=3(x的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内． 师：有没有同学能帮他解决这个困难． 生2：可先把方程转化为lgx+x(3=0，再设f(x)=lgx+x(3，由f(2.5)＜0，f(3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内． 师：很好，这个方程的形式为g(x)=h(x)，而第二位同学则把它转化为g(x)(h(x)=0，并设f(x)=g(x)-h(x)，从而使问题得以有效解决． 解决了困难，顺利进入了不断