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关于质点在有心力场中运动问题的讨论 作者：王华 引子 质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。 题目 如力图4－7－1，飞船总质量为m, 内装质量为m0的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为 r1,速度为v1= （1）试证明 ?a1 （2）如力图4－7－2，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m0/m及发射探测器的相对速度u。 （3）如力图4－7－3，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。 分析 1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了a的取值。 2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。 3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定，E0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E0为双曲线。 解答 1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与r1的约束关系,根据它们的关系解出 a的取值范围。 飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处的速度为v2: 由角动量守恒 mr1v1=mr2v2 即 mr1 = mr2v2 (1) 由飞船地球系统的机械能守恒 ?m(2aGM/r1)-GMm/r1 = ?mv22-GMm/r2 (2) 由(1) (2)解得: (r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0 解出两个根｛ 其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去. 应取 r1/r2=(1-a)/a 由于 0r1/r21 故有 ? a 1 2．飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒， mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1) 发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0。即 E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2) 发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1 式中M为地球质量，即 v1’ = = v1/ (3) 由（1）式 mv1 = mv1’+m0u 即 u = m/m0(v1-v1’) (4) 由(2)(3)式，得： (u+v1’)2-2v1’2 = 0 即 u2+2uv1’-v1’2 = 0 把（4）式代入上式，得出m/m0满足得方程为 (m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2 = 0 舍去负根后，解出： m/m0 = ( -1)v1’/(v1-v1’) 将（3）式代入，得 m/m0 = ( -1)/( -1) 所以质量比为 m0/m = ( -1)/ ( -1) (5) 代入（4）式，得出探测器得相对速度为 3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒， mr1v1 = mr2v2 即 v2=(r1/r2)v1 设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度应该为v2’+u,由动量守恒得： mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u) 即 mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’) 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m = v2+(1-m0/m)u (6) 式中