函数的图像、性质及其应用.doc

一堂函数探究课的实录与反思 ——函数的图像、性质及其应用 上海市松江一中 王瑾 在高中数学中，我们常常会碰到形如“”的函数，我们称这样的函数为“双勾函数”。“双勾函数”是重要的函数之一，它的性质及图象有十分鲜明的特征和规律性，在实际问题中有着广泛的应用。考虑到上海版高一数学新教材对这类函数的图像与性质的处理比较零星分散，为了帮助学生较系统地掌握这个知识点，同时进一步巩固学生研究函数的方法，提高学生自主探究数学问题的能力，故设计并实施了本节课教学的 一、案例背景：的图像和性质；初步应用函数的图像和性质解决函数的最值；并在师生共同运用已学知识研究新知识的过程中，有机渗透数形结合、分类讨论、转化的数学思想，培养学生探究数学问题的意识与能力. 二、教学设计思路： 三、教学过程： （一）知识引入阶段 师：前段时间，我们学习了函数的概念、性质，并研究了“二次函数在给定区间上的最值问题”。今天，我们将研究一类新的函数。现在，先请大家解决下面这个问题. 问题：求函数的最值；若求它在上的最值呢？ 生1：由基本不等式求得函数的最小值是2，无最大值. 师：那么当时呢？ 生2：最小值2取不到了，因为等号成立的条件. 师：那怎么办？这就是我们今天将要共同研究的一类新函数问题. [在学生思维的最近发展区，恰时恰当地提出一个新问题，一下子激活了学生的思维冲动] （设计意图：此问题的设计不仅复习了基本不等式的应用方法，更对函数的探究创设了诱人的情景） （二）知识形成阶段 1、研究函数的性质，并作出它的大致图像. 师：请大家研究函数的性质，并指出这些性质对作图的作用. 生3：定义域： ，可知函数图象与y轴没有交点. 生4：奇函数，图象关于原点o对称. 生5：值域：；最值：当；当. 师：函数的最大值怎么会比最小值还小呢？ 生6：生5的最小值是在时求得，最大值是在时求得的，但在整个定义域内函数没有最值. 师：很好！那么单调性呢？ 生7：我通过取特殊值法，发现函数在上并不单调，同理，在上，也不单调，似乎没有单调区间. 师：是吗？不妨让我们先根据刚才得到的各种性质, 列表、描点、连线作出这个函数图象，再利用数形结合的思想观察它的单调区间. ［学生思维受阻，教师适当引导.5分钟后利用投影仪展示学生成果］ 师:刚才大家看到的是我们自己通过列表、描点、连线作出的大致图象,基本正确，但还不够精确.下面,请大家欣赏老师用几何画板作出的函数图象. (电脑演示动画,增强学生对函数性质的理解) 师：函数图象的形状很象两个勾子，有人称它为“双勾函数”，又有人称它为“耐克函数”，因为它很象一体育品牌“耐克”的标志. 从图象上看，刚才生8的结论“函数在 和上并不单调”是正确的.但是否意味着不 存在单调区间呢？ 生8：函数的单调区间有4个：在 上单调递增；上单调递减. 师：好！再请大家注意观察图象与直线：的关系，发现什么规律？ 生9：我发现图象越来越接近这两条直线，但不会相交. 师：对！图象无限接近这两条直线，但永远不会相交.我们把这两条直线称为“渐近线”. 师：下面老师现在再利用多媒体，展示函数的图象，请大家归纳它们性质上的共同点和不同点. [学生，互相讨论的图象和性质了. 2、探究究函数的性质，并作出它的大致图像 生众：定义域： ；值域： ；奇函数； 在上单调递增；在上单调递减. 当；当 师：好！其中，单调性要用定义严格证明，请同学们自己完成. （设计意图：这一环节教师通过递进式的设问、引导，让学生在自主探索与合作交流中，历经由具体到抽象、由特殊到一般转化的思维过程，掌握“双勾函数”及其图象的性质，提升学生探究函数性质的能力.） （三）知识深化阶段 例、求函数在以下区间上的最值： ； ； ［学生自主完成、教师巡视并进行个别辅导.然后利用投影仪展示学生解答过程］ 师：第1、2小题同学们的答案都是正确的，但缺乏规范的书写格式. （教师板书解题过程，强调书写的规范性，及时纠错） 师：第3小题，请生12解释为什么当时，？ 生12：当时，， 又因为 ，故当时，. 生13：老师，我不同意他的做法.函数并不关于对称，不能这样考虑. 师：那么，怎么做呢？ 生13：由函数的单调性可知，函数只可能在区间端点上取到最大值，因此只要比较端点函数值的大小就可以了.因为，所以 师：很好！那我们能不能总结一下“求函数在闭区间， 上的最值的方法”. （师生共同归纳小结） 当时，函数的最大（小）值在区间端点处取到； 当时，函数最小值为，最大值在区间端点处取到. 师：那么，将区间中的改为时，结论又如何？ （学生自主探究，得出正确结论） 师：我们已经研究了函数的图像和性质.现在，让我们进一步探究更为复杂的函数的图像和性质. [学生积极思考，互相讨论，转化为已知函数性质处理. 生15：它们的定义域和奇偶性不变.