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剖析2006年高考数学创新题的立意和求解 (523770 东莞市大朗职业中学 谭华 随着课改的深入和新课标的实施,高考考查考生的创新意识已逐年增强,尤其2006年高考数学创新题凸现得非常明显:不仅“立意”新颖,而且在“求解途径、求解方法”上也力求创新。 以下采撷2006年高考创新题六例,本文从考题取材、考题意图、求解策略等方面逐一剖析,以感受其“立意”之新、“求解”之新,从而领略其蕴含的创新意识和探究能力。 例1(2006年湖北卷,文,15)。 半径为r 的圆的面积S(r) =πr ,周长C(r) =2πr ,若将r 看作(0,+∞)上的变量,则 (πr)ˊ=2πr ① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R 的球,若将R 看作(0,+∞ )上的变量,请你写出类似于① 的式子: ② ②式可用语言叙述为: 考题取材:从圆的面积与其周长之间的导数关系,引申到球的体积和其表面积之间的导数关系。 考题意图:考查考生用类比思维去探索发现、归纳演绎的数学素养。 解 析: (πR )ˊ=4πR 即:球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点 评:此题融图形语言、符号语言和文字语言于一体,立意新颖别致。 例2(2006年全国卷Ⅰ ,理,11)。 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( ) ( A )8cm ( B )6cm ( C )3cm ( D )20cm 考题取材:源自考生熟悉的数学常识:当三角形三边的长度接近(如果允许折断,则围成等边三角形)时面积最大。 考题意图:考查考生用数学常识去解决日常实际问题。 解  析:由实际摆放及解题经验知:当三角形三边的长度比较接近时,面积最大。即当三边长度分别为6、7、7时,面积最大值为6cm   (易求)。 点  评:此题求解关键:必须具备一定的数学常识和解题经验。本题从解题途径上刻意创新,提醒考生务必留意和积累数学常识,有助于快速求解创新题。 例3(2006年福建卷,理,12)。 对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y),B(x, y),定义它们之间的一种“距离”:║AB║=│x- x│+│y- y│。 给出下列三个命题: 若点C在线段AB上,则|AC|+|CB|=|AB|; 在ABC中,若∠C=90,则|AC|+|CB|=|AB|; 在ABC中,|AC|+|CB||AB|。 其中真命题的个数为: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 考题取材:以课本“同一数轴上两点间距离”为基础,创新定义“直角坐标平面内任意两点间距离”。 考题意图: 考查考生理解能力和数形结合解题能力。 解  析:根据新定义的“距离”,如图1有: |AB|=│AM│+│BM│。 对于①,不妨设С(x,y),如图2所示, 这种“距离” |AB|=│AM│+│BM│。 由于点C在线段AB上,所以根据题目中“距离”的定义有: |AC|+|CB| =(|AE|+|EC|)+(|CF|+|FB|) =(|AE|+|CF|)+(|EC|+|FB|) =│AM│+│BM│=|AB|,所以①为真命题。 对于②,如图3所示(即将图2的M换成C),于是可得: |AC|+|CB|=|AC|+|CB| 而║AB║=(|AC|+|CB|)=|AC|+|CB|+2|AC|﹒|CB|, 显然|AC|+|CB|≠|AB|,所以②为假命题。 对于③,如图3所示(即将图2的M换成C), |AC|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|,所以③为假命题。 从而正确答案应选B。 点  评:本题定义的“距离”颇具新意,但这个新“距离”实际就是对“同一数轴上两点间距离”的拓展。求解的关键:对新“距离”的准确理解及“数”、“形”有机结合。 例4(2006年上海卷,理,16) 如图,平面中两条直线l和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l和l的距离,则称有序非负实数对﹙p,q﹚是点M的“距离坐标”。已知常数p≧0,q≧0,,给出下列命题: 若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个; 若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个; 若pq≠0,则“距离坐标”为(p,qp=q=0,则只有O点满足,即1个点。

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