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§1.3 数值计算中误差的传播 基本运算中的误差估计 1 加减运算 2 乘法运算 3 除法运算 算法的数值稳定性 * * 一元函数的误差估计 问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？ 分析： x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’(? ) ? f ’(x*) ，则有： 即：x*产生的绝对误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)|倍，故称| f ’(x*)|为绝对误差增长因子. 即：x*产生的相对误差经过 f 作用后被放大/缩小了 倍，故称 为相对误差增长因子. 多元函数的误差估计 加减运算 乘法运算 误差在算术运算中的传播 除法运算 乘方开方运算 和、差的绝对误差限不超过各数的绝对误差限之和，积、商的相对误差极限不超过各数的相对误差限之和. 性质 例2 假定运算中数据都精确到两位小数，试求 的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？ 解 故计算结果有2位有效数字. 什么是算法和计算量？ 算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。 计算量：一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop. 在计算同一问题时，采用不同的算法，其计算量是不同的。计算量是衡量一个算法好坏的重要标准。 算法的数值稳定性 例如，计算n次多项式 方法一：先计算 再作线性组合，则需n(n+1)/2次乘法运算， n次加法运算 方法二：秦九韶算法 则需n次乘法运算，n次加法运算 稳定性：在按一个算法的计算过程中，数据误差和舍入误差在计算过程中不增长，则称算法是稳定的；否则称算法是数值不稳定的. 即算法的计算结果受舍入误差的影响比较小. 算法的数值稳定性 例 计算积分 的近似值. 算法Ⅰ 取 按公式 依次计算 近似值. -4114 813 -012 011 -010 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00 (算法Ⅰ) n ? ?? ? ! ! ! What happened?! ??？ 算法Ⅱ: 取 ，按公式 计算 取 计算结果如下表： 由于 014 013 012 011 010 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00 (算法Ⅱ) n 设 算法Ⅰ 算法Ⅱ 原因？ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。