第二章MATLAB的线性代数计算.doc

第二章 MATLAB的線性代數計算 本章先介紹用MATLAB解線性方程組的方法, 應用此方法, 說明線性代數中有關線性組合,線性相依,線性獨立的概念與判斷. 另外也討論並估計線性方程組近似值解之正確度. 最後說明LU-Factorization與 Choleski-Decomposition 及其應用. (一) 解線性方程組 Ax= b (1) 矩陣 A 是一個 upper triangular matrix, 主對角線上的元素不為零 A=[4 -1 3;0 2 5;0 0 8]; b=[1 0 2]; n=3; X=zeros(n,1); % 給初始值 X=[0 0 0] for j=n:-1:1 % 利用loop來執行Backward Subsitution X(j)=(b(j)-A(j,: )*X)/A(j,j); end, X X = -0.0938 -0.6250 0.2500  (2) 矩陣 A 是一般矩陣, 而且是 nonsingular matrix 則利用 Gaussian Elimination Algorithm採用 maximum column pivot 將其化為 triangular matrix, 以求解 A=[2 2 -3;3 1 -2;6 8 0]; b=[2 2 30]; w=[A b]; % 建一擴增矩陣(augmented matrix) p=[1 2 3]; % 初始的 pivot vector pivot=w(3,1); % 選定第一個 pivot element p=[3 2 1]; % 更新後的 pivot vector w(1,:)=(-w(1,1)/pivot)*w(3,:)+w(1,:) % 使(1,1)entry為0 w = 0 -0.6667 -3.0000 -8.0000 3.0000 1.0000 -2.0000 2.0000 6.0000 8.0000 0 30.0000 w(2,:)=(-w(2,1)/pivot)*w(3,:)+w(2,:) % 使(2,1)entry為0 w = 0 -0.6667 -3.0000 -8.0000 0 -3.0000 -2.0000 -13.0000 6.0000 8.0000 0 30.0000 pivot=w(2,2); % 選定第二個 pivot element w(1,:)=(-w(1,2)/pivot)*w(2,:)+w(1,:) % 使(1,2)entry為0 p=[3 2 1]; % 更新後的 pivot vector w = 0 0 -2.5556 -5.1111 0 -3.0000 -2.0000 -13.0000 6.0000 8.0000 0 30.0000 C=w(:,1:3); B=w(:,4); % separate coefficient matrix and % right-hand side x=zeros(3,1); % 給x的初始值x=[0 0 0] for j=3:-1:1 % 利用loop來執行類似Backward Subsitution % 以求解 x(j)=(B(p(j))-C(p(j),:)*x)/C(p(j),j); end, x x = 1 3 2 xx=A\b