第五章：分析力学第二节.pptVIP

§5、2虚功原理（虚位移原理） 一、虚位移和实位移 实位移：由于运动而实际发生的位移 对应时间间隔，同时满足运动微分方程 虚位移： 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更 虚位移是纯几何概念（非运动学概念），以 表示 （1）特点（本质）： 想象中可能发生的位移，它只取决于质点在 时刻的位置和约束 方程，并不对应一段时间间隔，它是一个抽象的等时变分概念 （2）直观意义（求法）： 对于非稳定约束，在 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的 不变 ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意 ）， 即可得虚位移； 对于稳定约束，由于约束方程中不显含 ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同 Example 质点被限制在以等速 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 （3）实位移是唯一的，虚位移可若干个； 对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个； 对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。 例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等  例一（5、1） 广义坐标下虚功原理的表达式 推导 * * * * 二、理想约束 实功－作用在质点上的力（含约束力 ）在实位移 中所作的功 虚功－作用在质点上的力（含约束力 ）在任意虚位移 中所作的功 若 　体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零 理想约束 三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一） 体系受k个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态， 则其中每个质点均处于平衡状态，即 对系统求和 对于理想约束 则 虚功原理 具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意 虚位移中所作元功之和等于零 1、由 只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约 束反力，需用拉格朗日未定乘数法 2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤 （1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标； （2）将 表示为广义坐标的函数，并求出（ ）； （3）由虚功原理列出平衡方程，并令 的系数为零，求出平衡条件。 说明 是互相独立的 广义坐标下虚功原理的表达式 广义力 它是广义坐标 的函数